Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27691 / 9411
↖ ↑ ↗
← N 77.838376°
W 27.888794°		 ← 128.69 m → N 77.838376°
W 27.883300°		 →
↑
128.63 m
↓
↑
128.63 m
↓
N 77.837219°
W 27.888794°		 ← 128.70 m →
16 554 m²		 N 77.837219°
W 27.883300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422538757324219 y=0.143608093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422538757324219 × 216)
    floor (0.422538757324219 × 65536)
    floor (27691.5)     		tx = 27691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143608093261719 × 216)
    floor (0.143608093261719 × 65536)
    floor (9411.5)     		ty = 9411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27691 / 9411 ti = "16/27691/9411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27691/9411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27691 ÷ 216
    27691 ÷ 65536     		x = 0.422531127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9411 ÷ 216
    9411 ÷ 65536     		y = 0.143600463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422531127929688 × 2 - 1) × π
    -0.154937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48675128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143600463867188 × 2 - 1) × π
    0.712799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2393243288513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48675128} λ = -0.48675128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2393243288513))-π/2
    2×atan(9.38698662819468)-π/2
    2×1.46466614057956-π/2
    2.92933228115911-1.57079632675     		φ = 1.35853595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48675128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.888794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35853595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.838376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27691 KachelY 9411 -0.48675128 1.35853595 -27.888794 77.838376
    Oben rechts KachelX + 1 27692 KachelY 9411 -0.48665540 1.35853595 -27.883300 77.838376
    Unten links KachelX 27691 KachelY + 1 9412 -0.48675128 1.35851576 -27.888794 77.837219
    Unten rechts KachelX + 1 27692 KachelY + 1 9412 -0.48665540 1.35851576 -27.883300 77.837219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35853595-1.35851576) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dl = 128.630490000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35853595-1.35851576) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dr = 128.630490000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48675128--0.48665540) × cos(1.35853595) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.2106700838057 × 6371000     		do = 128.688132484426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48675128--0.48665540) × cos(1.35851576) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.210689820643005 × 6371000     		du = 128.700188760704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35853595)-sin(1.35851576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2106700838057-0.210689820643005)×R²
    abs(-0.48665540--0.48675128)×1.97368373054951e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.97368373054951e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.97368373054951e-05×40589641000000     		ar = 16553.9929419148m²