Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27691 / 9407
↖ ↑ ↗
← N 77.843005°
W 27.888794°		 ← 128.64 m → N 77.843005°
W 27.883300°		 →
↑
128.63 m
↓
↑
128.63 m
↓
N 77.841848°
W 27.888794°		 ← 128.65 m →
16 548 m²		 N 77.841848°
W 27.883300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422538757324219 y=0.143547058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422538757324219 × 216)
    floor (0.422538757324219 × 65536)
    floor (27691.5)     		tx = 27691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143547058105469 × 216)
    floor (0.143547058105469 × 65536)
    floor (9407.5)     		ty = 9407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27691 / 9407 ti = "16/27691/9407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27691/9407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27691 ÷ 216
    27691 ÷ 65536     		x = 0.422531127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9407 ÷ 216
    9407 ÷ 65536     		y = 0.143539428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422531127929688 × 2 - 1) × π
    -0.154937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48675128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143539428710938 × 2 - 1) × π
    0.712921142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23970782404826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48675128} λ = -0.48675128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23970782404826))-π/2
    2×atan(9.39058718283411)-π/2
    2×1.46470652849038-π/2
    2.92941305698076-1.57079632675     		φ = 1.35861673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48675128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.888794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35861673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.843005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27691 KachelY 9407 -0.48675128 1.35861673 -27.888794 77.843005
    Oben rechts KachelX + 1 27692 KachelY 9407 -0.48665540 1.35861673 -27.883300 77.843005
    Unten links KachelX 27691 KachelY + 1 9408 -0.48675128 1.35859654 -27.888794 77.841848
    Unten rechts KachelX + 1 27692 KachelY + 1 9408 -0.48665540 1.35859654 -27.883300 77.841848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35861673-1.35859654) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dl = 128.630490000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35861673-1.35859654) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dr = 128.630490000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48675128--0.48665540) × cos(1.35861673) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.210591116046307 × 6371000     		do = 128.639894911728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48675128--0.48665540) × cos(1.35859654) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.210610853227156 × 6371000     		du = 128.651951397861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35861673)-sin(1.35859654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210591116046307-0.210610853227156)×R²
    abs(-0.48665540--0.48675128)×1.97371808491886e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.97371808491886e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.97371808491886e-05×40589641000000     		ar = 16547.7881325912m²