Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27690 / 7242
↖ ↑ ↗
← N 80.109133°
W 27.894287°		 ← 104.92 m → N 80.109133°
W 27.888794°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
N 80.108189°
W 27.894287°		 ← 104.93 m →
11 009 m²		 N 80.108189°
W 27.888794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422523498535156 y=0.110511779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422523498535156 × 216)
    floor (0.422523498535156 × 65536)
    floor (27690.5)     		tx = 27690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110511779785156 × 216)
    floor (0.110511779785156 × 65536)
    floor (7242.5)     		ty = 7242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27690 / 7242 ti = "16/27690/7242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27690/7242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27690 ÷ 216
    27690 ÷ 65536     		x = 0.422515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7242 ÷ 216
    7242 ÷ 65536     		y = 0.110504150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.15496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48684715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110504150390625 × 2 - 1) × π
    0.77899169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44727459940311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48684715} λ = -0.48684715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44727459940311))-π/2
    2×atan(11.5568068310955)-π/2
    2×1.4844822258844-π/2
    2.96896445176881-1.57079632675     		φ = 1.39816813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48684715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.894287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39816813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.109133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27690 KachelY 7242 -0.48684715 1.39816813 -27.894287 80.109133
    Oben rechts KachelX + 1 27691 KachelY 7242 -0.48675128 1.39816813 -27.888794 80.109133
    Unten links KachelX 27690 KachelY + 1 7243 -0.48684715 1.39815166 -27.894287 80.108189
    Unten rechts KachelX + 1 27691 KachelY + 1 7243 -0.48675128 1.39815166 -27.888794 80.108189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39816813-1.39815166) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dl = 104.930370000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39816813-1.39815166) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dr = 104.930370000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48684715--0.48675128) × cos(1.39816813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171772072504129 × 6371000     		do = 104.916281113073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48684715--0.48675128) × cos(1.39815166) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171788297682593 × 6371000     		du = 104.926191253645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39816813)-sin(1.39815166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171772072504129-0.171788297682593)×R²
    abs(-0.48675128--0.48684715)×1.62251784635858e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62251784635858e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62251784635858e-05×40589641000000     		ar = 11009.4241338552m²