Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27689 / 22115
↖ ↑ ↗
← N 50.391010°
W 27.899780°		 ← 389.45 m → N 50.391010°
W 27.894287°		 →
↑
389.46 m
↓
↑
389.46 m
↓
N 50.387508°
W 27.899780°		 ← 389.47 m →
151 679 m²		 N 50.387508°
W 27.894287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422508239746094 y=0.337455749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422508239746094 × 216)
    floor (0.422508239746094 × 65536)
    floor (27689.5)     		tx = 27689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337455749511719 × 216)
    floor (0.337455749511719 × 65536)
    floor (22115.5)     		ty = 22115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27689 / 22115 ti = "16/27689/22115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27689/22115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27689 ÷ 216
    27689 ÷ 65536     		x = 0.422500610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22115 ÷ 216
    22115 ÷ 65536     		y = 0.337448120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422500610351562 × 2 - 1) × π
    -0.154998779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48694303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337448120117188 × 2 - 1) × π
    0.325103759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02134358330492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48694303} λ = -0.48694303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02134358330492))-π/2
    2×atan(2.77692328637978)-π/2
    2×1.22514268296005-π/2
    2.4502853659201-1.57079632675     		φ = 0.87948904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48694303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.899780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87948904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.391010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27689 KachelY 22115 -0.48694303 0.87948904 -27.899780 50.391010
    Oben rechts KachelX + 1 27690 KachelY 22115 -0.48684715 0.87948904 -27.894287 50.391010
    Unten links KachelX 27689 KachelY + 1 22116 -0.48694303 0.87942791 -27.899780 50.387508
    Unten rechts KachelX + 1 27690 KachelY + 1 22116 -0.48684715 0.87942791 -27.894287 50.387508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87948904-0.87942791) × R
    6.11300000000758e-05 × 6371000     		dl = 389.459230000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87948904-0.87942791) × R
    6.11300000000758e-05 × 6371000     		dr = 389.459230000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48694303--0.48684715) × cos(0.87948904) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.637544877745259 × 6371000     		do = 389.44523213708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48694303--0.48684715) × cos(0.87942791) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.637591971914127 × 6371000     		du = 389.473999679833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87948904)-sin(0.87942791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637544877745259-0.637591971914127)×R²
    abs(-0.48684715--0.48694303)×4.70941688686111e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70941688686111e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70941688686111e-05×40589641000000     		ar = 151678.642175485m²