Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27688 / 21346
↖ ↑ ↗
← N 53.008173°
W 27.905273°		 ← 367.51 m → N 53.008173°
W 27.899780°		 →
↑
367.54 m
↓
↑
367.54 m
↓
N 53.004868°
W 27.905273°		 ← 367.54 m →
135 082 m²		 N 53.004868°
W 27.899780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422492980957031 y=0.325721740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422492980957031 × 216)
    floor (0.422492980957031 × 65536)
    floor (27688.5)     		tx = 27688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325721740722656 × 216)
    floor (0.325721740722656 × 65536)
    floor (21346.5)     		ty = 21346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27688 / 21346 ti = "16/27688/21346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27688/21346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27688 ÷ 216
    27688 ÷ 65536     		x = 0.4224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21346 ÷ 216
    21346 ÷ 65536     		y = 0.325714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48703890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325714111328125 × 2 - 1) × π
    0.34857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09507053492056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48703890} λ = -0.48703890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09507053492056))-π/2
    2×atan(2.98939353259251)-π/2
    2×1.24798174037148-π/2
    2.49596348074295-1.57079632675     		φ = 0.92516715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48703890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.905273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92516715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.008173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27688 KachelY 21346 -0.48703890 0.92516715 -27.905273 53.008173
    Oben rechts KachelX + 1 27689 KachelY 21346 -0.48694303 0.92516715 -27.899780 53.008173
    Unten links KachelX 27688 KachelY + 1 21347 -0.48703890 0.92510946 -27.905273 53.004868
    Unten rechts KachelX + 1 27689 KachelY + 1 21347 -0.48694303 0.92510946 -27.899780 53.004868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92516715-0.92510946) × R
    5.76899999999991e-05 × 6371000     		dl = 367.542989999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92516715-0.92510946) × R
    5.76899999999991e-05 × 6371000     		dr = 367.542989999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48703890--0.48694303) × cos(0.92516715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6017010945148 × 6371000     		do = 367.511669725246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48703890--0.48694303) × cos(0.92510946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601747171748109 × 6371000     		du = 367.539813135827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92516715)-sin(0.92510946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6017010945148-0.601747171748109)×R²
    abs(-0.48694303--0.48703890)×4.6077233309072e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6077233309072e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6077233309072e-05×40589641000000     		ar = 135081.509944764m²