Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27687 / 22114
↖ ↑ ↗
← N 50.394512°
W 27.910766°		 ← 389.38 m → N 50.394512°
W 27.905273°		 →
↑
389.40 m
↓
↑
389.40 m
↓
N 50.391010°
W 27.910766°		 ← 389.40 m →
151 627 m²		 N 50.391010°
W 27.905273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422477722167969 y=0.337440490722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422477722167969 × 216)
    floor (0.422477722167969 × 65536)
    floor (27687.5)     		tx = 27687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337440490722656 × 216)
    floor (0.337440490722656 × 65536)
    floor (22114.5)     		ty = 22114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27687 / 22114 ti = "16/27687/22114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27687/22114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27687 ÷ 216
    27687 ÷ 65536     		x = 0.422470092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22114 ÷ 216
    22114 ÷ 65536     		y = 0.337432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422470092773438 × 2 - 1) × π
    -0.155059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48713477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337432861328125 × 2 - 1) × π
    0.32513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02143945710416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48713477} λ = -0.48713477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02143945710416))-π/2
    2×atan(2.77718953332829)-π/2
    2×1.22517324375621-π/2
    2.45034648751242-1.57079632675     		φ = 0.87955016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48713477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.910766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87955016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.394512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27687 KachelY 22114 -0.48713477 0.87955016 -27.910766 50.394512
    Oben rechts KachelX + 1 27688 KachelY 22114 -0.48703890 0.87955016 -27.905273 50.394512
    Unten links KachelX 27687 KachelY + 1 22115 -0.48713477 0.87948904 -27.910766 50.391010
    Unten rechts KachelX + 1 27688 KachelY + 1 22115 -0.48703890 0.87948904 -27.905273 50.391010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87955016-0.87948904) × R
    6.11199999999146e-05 × 6371000     		dl = 389.395519999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87955016-0.87948904) × R
    6.11199999999146e-05 × 6371000     		dr = 389.395519999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48713477--0.48703890) × cos(0.87955016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637497788898486 × 6371000     		do = 389.375852861228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48713477--0.48703890) × cos(0.87948904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637544877745259 × 6371000     		du = 389.404614152941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87955016)-sin(0.87948904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637497788898486-0.637544877745259)×R²
    abs(-0.48703890--0.48713477)×4.70888467732911e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70888467732911e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70888467732911e-05×40589641000000     		ar = 151626.812506296m²