Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27686 / 9410
↖ ↑ ↗
← N 77.839534°
W 27.916260°		 ← 128.68 m → N 77.839534°
W 27.910766°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
N 77.838376°
W 27.916260°		 ← 128.69 m →
16 561 m²		 N 77.838376°
W 27.910766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422462463378906 y=0.143592834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422462463378906 × 216)
    floor (0.422462463378906 × 65536)
    floor (27686.5)     		tx = 27686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143592834472656 × 216)
    floor (0.143592834472656 × 65536)
    floor (9410.5)     		ty = 9410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27686 / 9410 ti = "16/27686/9410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27686/9410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27686 ÷ 216
    27686 ÷ 65536     		x = 0.422454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9410 ÷ 216
    9410 ÷ 65536     		y = 0.143585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.15509033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48723065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143585205078125 × 2 - 1) × π
    0.71282958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23942020265054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48723065} λ = -0.48723065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23942020265054))-π/2
    2×atan(9.38788663740911)-π/2
    2×1.46467623897678-π/2
    2.92935247795357-1.57079632675     		φ = 1.35855615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48723065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.916260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35855615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.839534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27686 KachelY 9410 -0.48723065 1.35855615 -27.916260 77.839534
    Oben rechts KachelX + 1 27687 KachelY 9410 -0.48713477 1.35855615 -27.910766 77.839534
    Unten links KachelX 27686 KachelY + 1 9411 -0.48723065 1.35853595 -27.916260 77.838376
    Unten rechts KachelX + 1 27687 KachelY + 1 9411 -0.48713477 1.35853595 -27.910766 77.838376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35855615-1.35853595) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dl = 128.694200000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35855615-1.35853595) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dr = 128.694200000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48723065--0.48713477) × cos(1.35855615) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.210650337106903 × 6371000     		do = 128.676070184241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48723065--0.48713477) × cos(1.35853595) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.2106700838057 × 6371000     		du = 128.688132484426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35855615)-sin(1.35853595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210650337106903-0.2106700838057)×R²
    abs(-0.48713477--0.48723065)×1.97466987968686e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.97466987968686e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.97466987968686e-05×40589641000000     		ar = 16560.64008613m²