Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27684 / 7252
↖ ↑ ↗
← N 80.099692°
W 27.927246°		 ← 105.03 m → N 80.099692°
W 27.921753°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
N 80.098748°
W 27.927246°		 ← 105.04 m →
11 028 m²		 N 80.098748°
W 27.921753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422431945800781 y=0.110664367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422431945800781 × 216)
    floor (0.422431945800781 × 65536)
    floor (27684.5)     		tx = 27684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110664367675781 × 216)
    floor (0.110664367675781 × 65536)
    floor (7252.5)     		ty = 7252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27684 / 7252 ti = "16/27684/7252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27684/7252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27684 ÷ 216
    27684 ÷ 65536     		x = 0.42242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7252 ÷ 216
    7252 ÷ 65536     		y = 0.11065673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42242431640625 × 2 - 1) × π
    -0.1551513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48742240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11065673828125 × 2 - 1) × π
    0.7786865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44631586141071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48742240} λ = -0.48742240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44631586141071))-π/2
    2×atan(11.5457321910031)-π/2
    2×1.48439984477857-π/2
    2.96879968955715-1.57079632675     		φ = 1.39800336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48742240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.927246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39800336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.099692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27684 KachelY 7252 -0.48742240 1.39800336 -27.927246 80.099692
    Oben rechts KachelX + 1 27685 KachelY 7252 -0.48732652 1.39800336 -27.921753 80.099692
    Unten links KachelX 27684 KachelY + 1 7253 -0.48742240 1.39798688 -27.927246 80.098748
    Unten rechts KachelX + 1 27685 KachelY + 1 7253 -0.48732652 1.39798688 -27.921753 80.098748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39800336-1.39798688) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39800336-1.39798688) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48742240--0.48732652) × cos(1.39800336) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.17193439114885 × 6371000     		do = 105.026377296166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48742240--0.48732652) × cos(1.39798688) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.171950625711979 × 6371000     		du = 105.03629420308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39800336)-sin(1.39798688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17193439114885-0.171950625711979)×R²
    abs(-0.48732652--0.48742240)×1.62345631284644e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.62345631284644e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.62345631284644e-05×40589641000000     		ar = 11027.6684686763m²