Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27682 / 9250
↖ ↑ ↗
← N 78.023294°
W 27.938232°		 ← 126.75 m → N 78.023294°
W 27.932739°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
N 78.022154°
W 27.938232°		 ← 126.76 m →
16 062 m²		 N 78.022154°
W 27.932739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422401428222656 y=0.141151428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422401428222656 × 216)
    floor (0.422401428222656 × 65536)
    floor (27682.5)     		tx = 27682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141151428222656 × 216)
    floor (0.141151428222656 × 65536)
    floor (9250.5)     		ty = 9250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27682 / 9250 ti = "16/27682/9250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27682/9250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27682 ÷ 216
    27682 ÷ 65536     		x = 0.422393798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9250 ÷ 216
    9250 ÷ 65536     		y = 0.141143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.15521240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48761414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141143798828125 × 2 - 1) × π
    0.71771240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25476001052896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48761414} λ = -0.48761414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25476001052896))-π/2
    2×atan(9.53300521471945)-π/2
    2×1.46627985042611-π/2
    2.93255970085223-1.57079632675     		φ = 1.36176337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48761414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.938232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36176337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.023294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27682 KachelY 9250 -0.48761414 1.36176337 -27.938232 78.023294
    Oben rechts KachelX + 1 27683 KachelY 9250 -0.48751827 1.36176337 -27.932739 78.023294
    Unten links KachelX 27682 KachelY + 1 9251 -0.48761414 1.36174348 -27.938232 78.022154
    Unten rechts KachelX + 1 27683 KachelY + 1 9251 -0.48751827 1.36174348 -27.932739 78.022154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36176337-1.36174348) × R
    1.98900000001334e-05 × 6371000     		dl = 126.71919000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36176337-1.36174348) × R
    1.98900000001334e-05 × 6371000     		dr = 126.71919000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48761414--0.48751827) × cos(1.36176337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207514004370067 × 6371000     		do = 126.747015972961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48761414--0.48751827) × cos(1.36174348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207533461364435 × 6371000     		du = 126.758900067162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36176337)-sin(1.36174348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207514004370067-0.207533461364435)×R²
    abs(-0.48751827--0.48761414)×1.94569943683109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94569943683109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94569943683109e-05×40589641000000     		ar = 16062.0321712111m²