Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27682 / 21350
↖ ↑ ↗
← N 52.994950°
W 27.938232°		 ← 367.62 m → N 52.994950°
W 27.932739°		 →
↑
367.67 m
↓
↑
367.67 m
↓
N 52.991644°
W 27.938232°		 ← 367.65 m →
135 170 m²		 N 52.991644°
W 27.932739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422401428222656 y=0.325782775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422401428222656 × 216)
    floor (0.422401428222656 × 65536)
    floor (27682.5)     		tx = 27682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325782775878906 × 216)
    floor (0.325782775878906 × 65536)
    floor (21350.5)     		ty = 21350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27682 / 21350 ti = "16/27682/21350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27682/21350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27682 ÷ 216
    27682 ÷ 65536     		x = 0.422393798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21350 ÷ 216
    21350 ÷ 65536     		y = 0.325775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.15521240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48761414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325775146484375 × 2 - 1) × π
    0.34844970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0946870397236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48761414} λ = -0.48761414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0946870397236))-π/2
    2×atan(2.98824733432575)-π/2
    2×1.24786634796145-π/2
    2.4957326959229-1.57079632675     		φ = 0.92493637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48761414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.938232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92493637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.994950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27682 KachelY 21350 -0.48761414 0.92493637 -27.938232 52.994950
    Oben rechts KachelX + 1 27683 KachelY 21350 -0.48751827 0.92493637 -27.932739 52.994950
    Unten links KachelX 27682 KachelY + 1 21351 -0.48761414 0.92487866 -27.938232 52.991644
    Unten rechts KachelX + 1 27683 KachelY + 1 21351 -0.48751827 0.92487866 -27.932739 52.991644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92493637-0.92487866) × R
    5.77099999999886e-05 × 6371000     		dl = 367.670409999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92493637-0.92487866) × R
    5.77099999999886e-05 × 6371000     		dr = 367.670409999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48761414--0.48751827) × cos(0.92493637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601885407402894 × 6371000     		do = 367.624245783147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48761414--0.48751827) × cos(0.92487866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601931492594757 × 6371000     		du = 367.652394054715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92493637)-sin(0.92487866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601885407402894-0.601931492594757)×R²
    abs(-0.48751827--0.48761414)×4.6085191863332e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6085191863332e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6085191863332e-05×40589641000000     		ar = 135169.731853741m²