Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27681 / 7243
↖ ↑ ↗
← N 80.108189°
W 27.943726°		 ← 104.94 m → N 80.108189°
W 27.938232°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
N 80.107246°
W 27.943726°		 ← 104.95 m →
11 012 m²		 N 80.107246°
W 27.938232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422386169433594 y=0.110527038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422386169433594 × 216)
    floor (0.422386169433594 × 65536)
    floor (27681.5)     		tx = 27681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110527038574219 × 216)
    floor (0.110527038574219 × 65536)
    floor (7243.5)     		ty = 7243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27681 / 7243 ti = "16/27681/7243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27681/7243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27681 ÷ 216
    27681 ÷ 65536     		x = 0.422378540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7243 ÷ 216
    7243 ÷ 65536     		y = 0.110519409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422378540039062 × 2 - 1) × π
    -0.155242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48771002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110519409179688 × 2 - 1) × π
    0.778961181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44717872560387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48771002} λ = -0.48771002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44717872560387))-π/2
    2×atan(11.5556988892296)-π/2
    2×1.4844739912747-π/2
    2.9689479825494-1.57079632675     		φ = 1.39815166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48771002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.943726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39815166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.108189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27681 KachelY 7243 -0.48771002 1.39815166 -27.943726 80.108189
    Oben rechts KachelX + 1 27682 KachelY 7243 -0.48761414 1.39815166 -27.938232 80.108189
    Unten links KachelX 27681 KachelY + 1 7244 -0.48771002 1.39813519 -27.943726 80.107246
    Unten rechts KachelX + 1 27682 KachelY + 1 7244 -0.48761414 1.39813519 -27.938232 80.107246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39815166-1.39813519) × R
    1.64699999998241e-05 × 6371000     		dl = 104.930369998879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39815166-1.39813519) × R
    1.64699999998241e-05 × 6371000     		dr = 104.930369998879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48771002--0.48761414) × cos(1.39815166) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.171788297682593 × 6371000     		do = 104.937135886145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48771002--0.48761414) × cos(1.39813519) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.171804522814457 × 6371000     		du = 104.947047031957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39815166)-sin(1.39813519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171788297682593-0.171804522814457)×R²
    abs(-0.48761414--0.48771002)×1.6225131863945e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.6225131863945e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.6225131863945e-05×40589641000000     		ar = 11011.6124858253m²