Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27681 / 23581
↖ ↑ ↗
← N 74.754913°
W103.971863°		 ← 80.31 m → N 74.754913°
W103.969116°		 →
↑
80.27 m
↓
↑
80.27 m
↓
N 74.754191°
W103.971863°		 ← 80.31 m →
6 447 m²		 N 74.754191°
W103.969116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211193084716797 y=0.179912567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211193084716797 × 217)
    floor (0.211193084716797 × 131072)
    floor (27681.5)     		tx = 27681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179912567138672 × 217)
    floor (0.179912567138672 × 131072)
    floor (23581.5)     		ty = 23581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27681 / 23581 ti = "17/27681/23581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27681/23581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27681 ÷ 217
    27681 ÷ 131072     		x = 0.211189270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23581 ÷ 217
    23581 ÷ 131072     		y = 0.179908752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211189270019531 × 2 - 1) × π
    -0.577621459960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.81465134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179908752441406 × 2 - 1) × π
    0.640182495117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.01119262355946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81465134} λ = -1.81465134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01119262355946))-π/2
    2×atan(7.47222358525825)-π/2
    2×1.43775784505948-π/2
    2.87551569011896-1.57079632675     		φ = 1.30471936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81465134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.971863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30471936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.754913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27681 KachelY 23581 -1.81465134 1.30471936 -103.971863 74.754913
    Oben rechts KachelX + 1 27682 KachelY 23581 -1.81460340 1.30471936 -103.969116 74.754913
    Unten links KachelX 27681 KachelY + 1 23582 -1.81465134 1.30470676 -103.971863 74.754191
    Unten rechts KachelX + 1 27682 KachelY + 1 23582 -1.81460340 1.30470676 -103.969116 74.754191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30471936-1.30470676) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dl = 80.2746000001864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30471936-1.30470676) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dr = 80.2746000001864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81465134--1.81460340) × cos(1.30471936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.26294848863736 × 6371000     		do = 80.3112367238946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81465134--1.81460340) × cos(1.30470676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.262960645220895 × 6371000     		du = 80.3149496574166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30471936)-sin(1.30470676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.26294848863736-0.262960645220895)×R²
    abs(-1.81460340--1.81465134)×1.2156583535039e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2156583535039e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2156583535039e-05×40589641000000     		ar = 6447.10143067237m²