Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27681 / 22112
↖ ↑ ↗
← N 50.401515°
W 27.943726°		 ← 389.36 m → N 50.401515°
W 27.938232°		 →
↑
389.33 m
↓
↑
389.33 m
↓
N 50.398014°
W 27.943726°		 ← 389.39 m →
151 595 m²		 N 50.398014°
W 27.938232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422386169433594 y=0.337409973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422386169433594 × 216)
    floor (0.422386169433594 × 65536)
    floor (27681.5)     		tx = 27681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337409973144531 × 216)
    floor (0.337409973144531 × 65536)
    floor (22112.5)     		ty = 22112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27681 / 22112 ti = "16/27681/22112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27681/22112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27681 ÷ 216
    27681 ÷ 65536     		x = 0.422378540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22112 ÷ 216
    22112 ÷ 65536     		y = 0.33740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422378540039062 × 2 - 1) × π
    -0.155242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48771002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33740234375 × 2 - 1) × π
    0.3251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02163120470264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48771002} λ = -0.48771002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02163120470264))-π/2
    2×atan(2.77772210380975)-π/2
    2×1.2252343585766-π/2
    2.45046871715321-1.57079632675     		φ = 0.87967239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48771002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.943726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87967239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.401515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27681 KachelY 22112 -0.48771002 0.87967239 -27.943726 50.401515
    Oben rechts KachelX + 1 27682 KachelY 22112 -0.48761414 0.87967239 -27.938232 50.401515
    Unten links KachelX 27681 KachelY + 1 22113 -0.48771002 0.87961128 -27.943726 50.398014
    Unten rechts KachelX + 1 27682 KachelY + 1 22113 -0.48761414 0.87961128 -27.938232 50.398014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87967239-0.87961128) × R
    6.11099999999754e-05 × 6371000     		dl = 389.331809999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87967239-0.87961128) × R
    6.11099999999754e-05 × 6371000     		dr = 389.331809999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48771002--0.48761414) × cos(0.87967239) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.637403611766001 × 6371000     		do = 389.358939604803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48771002--0.48761414) × cos(0.87961128) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.637450697670241 × 6371000     		du = 389.387702099095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87967239)-sin(0.87961128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637403611766001-0.637450697670241)×R²
    abs(-0.48761414--0.48771002)×4.70859042391858e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.70859042391858e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.70859042391858e-05×40589641000000     		ar = 151595.419819718m²