Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27681 / 21350
↖ ↑ ↗
← N 52.994950°
W 27.943726°		 ← 367.66 m → N 52.994950°
W 27.938232°		 →
↑
367.67 m
↓
↑
367.67 m
↓
N 52.991644°
W 27.943726°		 ← 367.69 m →
135 184 m²		 N 52.991644°
W 27.938232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422386169433594 y=0.325782775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422386169433594 × 216)
    floor (0.422386169433594 × 65536)
    floor (27681.5)     		tx = 27681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325782775878906 × 216)
    floor (0.325782775878906 × 65536)
    floor (21350.5)     		ty = 21350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27681 / 21350 ti = "16/27681/21350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27681/21350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27681 ÷ 216
    27681 ÷ 65536     		x = 0.422378540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21350 ÷ 216
    21350 ÷ 65536     		y = 0.325775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422378540039062 × 2 - 1) × π
    -0.155242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48771002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325775146484375 × 2 - 1) × π
    0.34844970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0946870397236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48771002} λ = -0.48771002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0946870397236))-π/2
    2×atan(2.98824733432575)-π/2
    2×1.24786634796145-π/2
    2.4957326959229-1.57079632675     		φ = 0.92493637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48771002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.943726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92493637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.994950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27681 KachelY 21350 -0.48771002 0.92493637 -27.943726 52.994950
    Oben rechts KachelX + 1 27682 KachelY 21350 -0.48761414 0.92493637 -27.938232 52.994950
    Unten links KachelX 27681 KachelY + 1 21351 -0.48771002 0.92487866 -27.943726 52.991644
    Unten rechts KachelX + 1 27682 KachelY + 1 21351 -0.48761414 0.92487866 -27.938232 52.991644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92493637-0.92487866) × R
    5.77099999999886e-05 × 6371000     		dl = 367.670409999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92493637-0.92487866) × R
    5.77099999999886e-05 × 6371000     		dr = 367.670409999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48771002--0.48761414) × cos(0.92493637) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.601885407402894 × 6371000     		do = 367.662591902645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48771002--0.48761414) × cos(0.92487866) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.601931492594757 × 6371000     		du = 367.690743110301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92493637)-sin(0.92487866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601885407402894-0.601931492594757)×R²
    abs(-0.48761414--0.48771002)×4.6085191863332e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.6085191863332e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.6085191863332e-05×40589641000000     		ar = 135183.831126979m²