Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27681 / 21342
↖ ↑ ↗
← N 53.021392°
W 27.943726°		 ← 367.44 m → N 53.021392°
W 27.938232°		 →
↑
367.42 m
↓
↑
367.42 m
↓
N 53.018088°
W 27.943726°		 ← 367.47 m →
135 007 m²		 N 53.018088°
W 27.938232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422386169433594 y=0.325660705566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422386169433594 × 216)
    floor (0.422386169433594 × 65536)
    floor (27681.5)     		tx = 27681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325660705566406 × 216)
    floor (0.325660705566406 × 65536)
    floor (21342.5)     		ty = 21342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27681 / 21342 ti = "16/27681/21342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27681/21342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27681 ÷ 216
    27681 ÷ 65536     		x = 0.422378540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21342 ÷ 216
    21342 ÷ 65536     		y = 0.325653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422378540039062 × 2 - 1) × π
    -0.155242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48771002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325653076171875 × 2 - 1) × π
    0.34869384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09545403011752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48771002} λ = -0.48771002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09545403011752))-π/2
    2×atan(2.9905401705051)-π/2
    2×1.24809709744155-π/2
    2.49619419488311-1.57079632675     		φ = 0.92539787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48771002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.943726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92539787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.021392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27681 KachelY 21342 -0.48771002 0.92539787 -27.943726 53.021392
    Oben rechts KachelX + 1 27682 KachelY 21342 -0.48761414 0.92539787 -27.938232 53.021392
    Unten links KachelX 27681 KachelY + 1 21343 -0.48771002 0.92534020 -27.943726 53.018088
    Unten rechts KachelX + 1 27682 KachelY + 1 21343 -0.48761414 0.92534020 -27.938232 53.018088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92539787-0.92534020) × R
    5.76700000000097e-05 × 6371000     		dl = 367.415570000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92539787-0.92534020) × R
    5.76700000000097e-05 × 6371000     		dr = 367.415570000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48771002--0.48761414) × cos(0.92539787) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.601516797512073 × 6371000     		do = 367.437426005295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48771002--0.48761414) × cos(0.92534020) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.601562866776737 × 6371000     		du = 367.465567483797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92539787)-sin(0.92534020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601516797512073-0.601562866776737)×R²
    abs(-0.48761414--0.48771002)×4.60692646642169e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.60692646642169e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.60692646642169e-05×40589641000000     		ar = 135007.401161107m²