Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27678 / 7286
↖ ↑ ↗
← N 80.067529°
W 27.960205°		 ← 105.36 m → N 80.067529°
W 27.954712°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
N 80.066582°
W 27.960205°		 ← 105.37 m →
11 103 m²		 N 80.066582°
W 27.954712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422340393066406 y=0.111183166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422340393066406 × 216)
    floor (0.422340393066406 × 65536)
    floor (27678.5)     		tx = 27678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111183166503906 × 216)
    floor (0.111183166503906 × 65536)
    floor (7286.5)     		ty = 7286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27678 / 7286 ti = "16/27678/7286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27678/7286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27678 ÷ 216
    27678 ÷ 65536     		x = 0.422332763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7286 ÷ 216
    7286 ÷ 65536     		y = 0.111175537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422332763671875 × 2 - 1) × π
    -0.15533447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48799764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111175537109375 × 2 - 1) × π
    0.77764892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44305615223654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48799764} λ = -0.48799764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44305615223654))-π/2
    2×atan(11.5081577360266)-π/2
    2×1.48411916633014-π/2
    2.96823833266028-1.57079632675     		φ = 1.39744201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48799764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.960205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39744201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.067529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27678 KachelY 7286 -0.48799764 1.39744201 -27.960205 80.067529
    Oben rechts KachelX + 1 27679 KachelY 7286 -0.48790176 1.39744201 -27.954712 80.067529
    Unten links KachelX 27678 KachelY + 1 7287 -0.48799764 1.39742547 -27.960205 80.066582
    Unten rechts KachelX + 1 27679 KachelY + 1 7287 -0.48790176 1.39742547 -27.954712 80.066582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39744201-1.39742547) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dl = 105.376340000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39744201-1.39742547) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dr = 105.376340000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48799764--0.48790176) × cos(1.39744201) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.172487354632232 × 6371000     		do = 105.364155858376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48799764--0.48790176) × cos(1.39742547) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.172503646702688 × 6371000     		du = 105.374107893726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39744201)-sin(1.39742547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172487354632232-0.172503646702688)×R²
    abs(-0.48790176--0.48799764)×1.62920704554204e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.62920704554204e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.62920704554204e-05×40589641000000     		ar = 11103.4134663947m²