Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27677 / 8868
↖ ↑ ↗
← N 78.451027°
W 27.965698°		 ← 122.28 m → N 78.451027°
W 27.960205°		 →
↑
122.26 m
↓
↑
122.26 m
↓
N 78.449927°
W 27.965698°		 ← 122.29 m →
14 951 m²		 N 78.449927°
W 27.960205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422325134277344 y=0.135322570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422325134277344 × 216)
    floor (0.422325134277344 × 65536)
    floor (27677.5)     		tx = 27677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135322570800781 × 216)
    floor (0.135322570800781 × 65536)
    floor (8868.5)     		ty = 8868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27677 / 8868 ti = "16/27677/8868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27677/8868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27677 ÷ 216
    27677 ÷ 65536     		x = 0.422317504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8868 ÷ 216
    8868 ÷ 65536     		y = 0.13531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422317504882812 × 2 - 1) × π
    -0.155364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48809351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13531494140625 × 2 - 1) × π
    0.7293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29138380183868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48809351} λ = -0.48809351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29138380183868))-π/2
    2×atan(9.88861209725223)-π/2
    2×1.47001252581773-π/2
    2.94002505163546-1.57079632675     		φ = 1.36922872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48809351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.965698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36922872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.451027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27677 KachelY 8868 -0.48809351 1.36922872 -27.965698 78.451027
    Oben rechts KachelX + 1 27678 KachelY 8868 -0.48799764 1.36922872 -27.960205 78.451027
    Unten links KachelX 27677 KachelY + 1 8869 -0.48809351 1.36920953 -27.965698 78.449927
    Unten rechts KachelX + 1 27678 KachelY + 1 8869 -0.48799764 1.36920953 -27.960205 78.449927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36922872-1.36920953) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dl = 122.259489999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36922872-1.36920953) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dr = 122.259489999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48809351--0.48799764) × cos(1.36922872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200205445088628 × 6371000     		do = 122.283037347538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48809351--0.48799764) × cos(1.36920953) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200224246529841 × 6371000     		du = 122.294521037889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36922872)-sin(1.36920953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200205445088628-0.200224246529841)×R²
    abs(-0.48799764--0.48809351)×1.8801441212718e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8801441212718e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8801441212718e-05×40589641000000     		ar = 14950.9637771901m²