Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27677 / 21563
↖ ↑ ↗
← N 76.146247°
W103.982849°		 ← 73.12 m → N 76.146247°
W103.980103°		 →
↑
73.14 m
↓
↑
73.14 m
↓
N 76.145590°
W103.982849°		 ← 73.12 m →
5 348 m²		 N 76.145590°
W103.980103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211162567138672 y=0.164516448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211162567138672 × 217)
    floor (0.211162567138672 × 131072)
    floor (27677.5)     		tx = 27677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164516448974609 × 217)
    floor (0.164516448974609 × 131072)
    floor (21563.5)     		ty = 21563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27677 / 21563 ti = "17/27677/21563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27677/21563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27677 ÷ 217
    27677 ÷ 131072     		x = 0.211158752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21563 ÷ 217
    21563 ÷ 131072     		y = 0.164512634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211158752441406 × 2 - 1) × π
    -0.577682495117188 × 3.1415926535     		Λ = -1.81484308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164512634277344 × 2 - 1) × π
    0.670974731445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.10792928699273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81484308} λ = -1.81484308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10792928699273))-π/2
    2×atan(8.23117921553231)-π/2
    2×1.44989952599918-π/2
    2.89979905199836-1.57079632675     		φ = 1.32900273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81484308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.982849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32900273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.146247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27677 KachelY 21563 -1.81484308 1.32900273 -103.982849 76.146247
    Oben rechts KachelX + 1 27678 KachelY 21563 -1.81479515 1.32900273 -103.980103 76.146247
    Unten links KachelX 27677 KachelY + 1 21564 -1.81484308 1.32899125 -103.982849 76.145590
    Unten rechts KachelX + 1 27678 KachelY + 1 21564 -1.81479515 1.32899125 -103.980103 76.145590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32900273-1.32899125) × R
    1.14799999999526e-05 × 6371000     		dl = 73.1390799996983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32900273-1.32899125) × R
    1.14799999999526e-05 × 6371000     		dr = 73.1390799996983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81484308--1.81479515) × cos(1.32900273) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239444431828171 × 6371000     		do = 73.1172377752915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81484308--1.81479515) × cos(1.32899125) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239455577859996 × 6371000     		du = 73.1206413501961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32900273)-sin(1.32899125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239444431828171-0.239455577859996)×R²
    abs(-1.81479515--1.81484308)×1.11460318253098e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11460318253098e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11460318253098e-05×40589641000000     		ar = 5347.85197031154m²