Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27677 / 21407
↖ ↑ ↗
← N 52.806082°
W 27.965698°		 ← 369.23 m → N 52.806082°
W 27.960205°		 →
↑
369.26 m
↓
↑
369.26 m
↓
N 52.802761°
W 27.965698°		 ← 369.26 m →
136 348 m²		 N 52.802761°
W 27.960205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422325134277344 y=0.326652526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422325134277344 × 216)
    floor (0.422325134277344 × 65536)
    floor (27677.5)     		tx = 27677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326652526855469 × 216)
    floor (0.326652526855469 × 65536)
    floor (21407.5)     		ty = 21407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27677 / 21407 ti = "16/27677/21407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27677/21407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27677 ÷ 216
    27677 ÷ 65536     		x = 0.422317504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21407 ÷ 216
    21407 ÷ 65536     		y = 0.326644897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422317504882812 × 2 - 1) × π
    -0.155364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48809351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326644897460938 × 2 - 1) × π
    0.346710205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08922223316692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48809351} λ = -0.48809351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08922223316692))-π/2
    2×atan(2.97196168020453)-π/2
    2×1.24621816347026-π/2
    2.49243632694052-1.57079632675     		φ = 0.92164000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48809351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.965698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92164000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.806082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27677 KachelY 21407 -0.48809351 0.92164000 -27.965698 52.806082
    Oben rechts KachelX + 1 27678 KachelY 21407 -0.48799764 0.92164000 -27.960205 52.806082
    Unten links KachelX 27677 KachelY + 1 21408 -0.48809351 0.92158204 -27.965698 52.802761
    Unten rechts KachelX + 1 27678 KachelY + 1 21408 -0.48799764 0.92158204 -27.960205 52.802761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92164000-0.92158204) × R
    5.79600000000235e-05 × 6371000     		dl = 369.26316000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92164000-0.92158204) × R
    5.79600000000235e-05 × 6371000     		dr = 369.26316000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48809351--0.48799764) × cos(0.92164000) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604514555864731 × 6371000     		do = 369.230097509152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48809351--0.48799764) × cos(0.92158204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604560725443044 × 6371000     		du = 369.258297322931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92164000)-sin(0.92158204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604514555864731-0.604560725443044)×R²
    abs(-0.48799764--0.48809351)×4.61695783128269e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61695783128269e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61695783128269e-05×40589641000000     		ar = 136348.279187763m²