Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27676 / 8870
↖ ↑ ↗
← N 78.448827°
W 27.971192°		 ← 122.32 m → N 78.448827°
W 27.965698°		 →
↑
122.32 m
↓
↑
122.32 m
↓
N 78.447727°
W 27.971192°		 ← 122.33 m →
14 963 m²		 N 78.447727°
W 27.965698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422309875488281 y=0.135353088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422309875488281 × 216)
    floor (0.422309875488281 × 65536)
    floor (27676.5)     		tx = 27676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135353088378906 × 216)
    floor (0.135353088378906 × 65536)
    floor (8870.5)     		ty = 8870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27676 / 8870 ti = "16/27676/8870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27676/8870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27676 ÷ 216
    27676 ÷ 65536     		x = 0.42230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8870 ÷ 216
    8870 ÷ 65536     		y = 0.135345458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42230224609375 × 2 - 1) × π
    -0.1553955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48818939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135345458984375 × 2 - 1) × π
    0.72930908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2911920542402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48818939} λ = -0.48818939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2911920542402))-π/2
    2×atan(9.88671616140667)-π/2
    2×1.46999332955844-π/2
    2.93998665911688-1.57079632675     		φ = 1.36919033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48818939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.971192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36919033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.448827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27676 KachelY 8870 -0.48818939 1.36919033 -27.971192 78.448827
    Oben rechts KachelX + 1 27677 KachelY 8870 -0.48809351 1.36919033 -27.965698 78.448827
    Unten links KachelX 27676 KachelY + 1 8871 -0.48818939 1.36917113 -27.971192 78.447727
    Unten rechts KachelX + 1 27677 KachelY + 1 8871 -0.48809351 1.36917113 -27.965698 78.447727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36919033-1.36917113) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dl = 122.323199999274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36919033-1.36917113) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dr = 122.323199999274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48818939--0.48809351) × cos(1.36919033) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.200243057694782 × 6371000     		do = 122.318768152574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48818939--0.48809351) × cos(1.36917113) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.200261868785906 × 6371000     		du = 122.330258935427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36919033)-sin(1.36917113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200243057694782-0.200261868785906)×R²
    abs(-0.48809351--0.48818939)×1.88110911237827e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.88110911237827e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.88110911237827e-05×40589641000000     		ar = 14963.1259355591m²