Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27675 / 7287
↖ ↑ ↗
← N 80.066582°
W 27.976685°		 ← 105.36 m → N 80.066582°
W 27.971192°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
N 80.065634°
W 27.976685°		 ← 105.37 m →
11 103 m²		 N 80.065634°
W 27.971192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422294616699219 y=0.111198425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422294616699219 × 216)
    floor (0.422294616699219 × 65536)
    floor (27675.5)     		tx = 27675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111198425292969 × 216)
    floor (0.111198425292969 × 65536)
    floor (7287.5)     		ty = 7287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27675 / 7287 ti = "16/27675/7287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27675/7287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27675 ÷ 216
    27675 ÷ 65536     		x = 0.422286987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7287 ÷ 216
    7287 ÷ 65536     		y = 0.111190795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422286987304688 × 2 - 1) × π
    -0.155426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48828526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111190795898438 × 2 - 1) × π
    0.777618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4429602784373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48828526} λ = -0.48828526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4429602784373))-π/2
    2×atan(11.5070544581108)-π/2
    2×1.4841108974305-π/2
    2.968221794861-1.57079632675     		φ = 1.39742547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48828526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.976685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39742547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.066582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27675 KachelY 7287 -0.48828526 1.39742547 -27.976685 80.066582
    Oben rechts KachelX + 1 27676 KachelY 7287 -0.48818939 1.39742547 -27.971192 80.066582
    Unten links KachelX 27675 KachelY + 1 7288 -0.48828526 1.39740893 -27.976685 80.065634
    Unten rechts KachelX + 1 27676 KachelY + 1 7288 -0.48818939 1.39740893 -27.971192 80.065634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39742547-1.39740893) × R
    1.65399999998428e-05 × 6371000     		dl = 105.376339998998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39742547-1.39740893) × R
    1.65399999998428e-05 × 6371000     		dr = 105.376339998998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48828526--0.48818939) × cos(1.39742547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172503646702688 × 6371000     		do = 105.3631176864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48828526--0.48818939) × cos(1.39740893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172519938725951 × 6371000     		du = 105.373068654958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39742547)-sin(1.39740893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172503646702688-0.172519938725951)×R²
    abs(-0.48818939--0.48828526)×1.62920232631147e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62920232631147e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62920232631147e-05×40589641000000     		ar = 11103.3040109569m²