Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27667 / 21523
↖ ↑ ↗
← N 76.172529°
W104.010315°		 ← 73 m → N 76.172529°
W104.007568°		 →
↑
73.01 m
↓
↑
73.01 m
↓
N 76.171872°
W104.010315°		 ← 73 m →
5 330 m²		 N 76.171872°
W104.007568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211086273193359 y=0.164211273193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211086273193359 × 217)
    floor (0.211086273193359 × 131072)
    floor (27667.5)     		tx = 27667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164211273193359 × 217)
    floor (0.164211273193359 × 131072)
    floor (21523.5)     		ty = 21523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27667 / 21523 ti = "17/27667/21523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27667/21523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27667 ÷ 217
    27667 ÷ 131072     		x = 0.211082458496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21523 ÷ 217
    21523 ÷ 131072     		y = 0.164207458496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211082458496094 × 2 - 1) × π
    -0.577835083007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.81532245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164207458496094 × 2 - 1) × π
    0.671585083007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.10984676297753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81532245} λ = -1.81532245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10984676297753))-π/2
    2×atan(8.24697744552755)-π/2
    2×1.45012887691229-π/2
    2.90025775382458-1.57079632675     		φ = 1.32946143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81532245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.010315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32946143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.172529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27667 KachelY 21523 -1.81532245 1.32946143 -104.010315 76.172529
    Oben rechts KachelX + 1 27668 KachelY 21523 -1.81527451 1.32946143 -104.007568 76.172529
    Unten links KachelX 27667 KachelY + 1 21524 -1.81532245 1.32944997 -104.010315 76.171872
    Unten rechts KachelX + 1 27668 KachelY + 1 21524 -1.81527451 1.32944997 -104.007568 76.171872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32946143-1.32944997) × R
    1.14600000000742e-05 × 6371000     		dl = 73.0116600004727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32946143-1.32944997) × R
    1.14600000000742e-05 × 6371000     		dr = 73.0116600004727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81532245--1.81527451) × cos(1.32946143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238999050204435 × 6371000     		do = 72.9964617679388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81532245--1.81527451) × cos(1.32944997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23901017807566 × 6371000     		du = 72.9998605062425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32946143)-sin(1.32944997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238999050204435-0.23901017807566)×R²
    abs(-1.81527451--1.81532245)×1.11278712256191e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11278712256191e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11278712256191e-05×40589641000000     		ar = 5329.71692159514m²