Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27665 / 9457
↖ ↑ ↗
← N 77.785028°
W 28.031616°		 ← 129.24 m → N 77.785028°
W 28.026123°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
N 77.783866°
W 28.031616°		 ← 129.26 m →
16 700 m²		 N 77.783866°
W 28.026123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422142028808594 y=0.144309997558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422142028808594 × 216)
    floor (0.422142028808594 × 65536)
    floor (27665.5)     		tx = 27665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144309997558594 × 216)
    floor (0.144309997558594 × 65536)
    floor (9457.5)     		ty = 9457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27665 / 9457 ti = "16/27665/9457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27665/9457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27665 ÷ 216
    27665 ÷ 65536     		x = 0.422134399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9457 ÷ 216
    9457 ÷ 65536     		y = 0.144302368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422134399414062 × 2 - 1) × π
    -0.155731201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48924400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144302368164062 × 2 - 1) × π
    0.711395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23491413408626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48924400} λ = -0.48924400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23491413408626))-π/2
    2×atan(9.34567934244673)-π/2
    2×1.46420058978129-π/2
    2.92840117956259-1.57079632675     		φ = 1.35760485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48924400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.031616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35760485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.785028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27665 KachelY 9457 -0.48924400 1.35760485 -28.031616 77.785028
    Oben rechts KachelX + 1 27666 KachelY 9457 -0.48914812 1.35760485 -28.026123 77.785028
    Unten links KachelX 27665 KachelY + 1 9458 -0.48924400 1.35758457 -28.031616 77.783866
    Unten rechts KachelX + 1 27666 KachelY + 1 9458 -0.48914812 1.35758457 -28.026123 77.783866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35760485-1.35758457) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dl = 129.203879999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35760485-1.35758457) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dr = 129.203879999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48924400--0.48914812) × cos(1.35760485) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.21158019588058 × 6371000     		do = 129.244075792333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48924400--0.48914812) × cos(1.35758457) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.21160001671085 × 6371000     		du = 129.256183375838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35760485)-sin(1.35758457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21158019588058-0.21160001671085)×R²
    abs(-0.48914812--0.48924400)×1.9820830269579e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.9820830269579e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.9820830269579e-05×40589641000000     		ar = 16699.6182331498m²