Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27665 / 8881
↖ ↑ ↗
← N 78.436721°
W 28.031616°		 ← 122.45 m → N 78.436721°
W 28.026123°		 →
↑
122.39 m
↓
↑
122.39 m
↓
N 78.435621°
W 28.031616°		 ← 122.46 m →
14 986 m²		 N 78.435621°
W 28.026123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422142028808594 y=0.135520935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422142028808594 × 216)
    floor (0.422142028808594 × 65536)
    floor (27665.5)     		tx = 27665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135520935058594 × 216)
    floor (0.135520935058594 × 65536)
    floor (8881.5)     		ty = 8881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27665 / 8881 ti = "16/27665/8881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27665/8881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27665 ÷ 216
    27665 ÷ 65536     		x = 0.422134399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8881 ÷ 216
    8881 ÷ 65536     		y = 0.135513305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422134399414062 × 2 - 1) × π
    -0.155731201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48924400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135513305664062 × 2 - 1) × π
    0.728973388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29013744244856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48924400} λ = -0.48924400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29013744244856))-π/2
    2×atan(9.87629501006266)-π/2
    2×1.46988768564651-π/2
    2.93977537129303-1.57079632675     		φ = 1.36897904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48924400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.031616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36897904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.436721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27665 KachelY 8881 -0.48924400 1.36897904 -28.031616 78.436721
    Oben rechts KachelX + 1 27666 KachelY 8881 -0.48914812 1.36897904 -28.026123 78.436721
    Unten links KachelX 27665 KachelY + 1 8882 -0.48924400 1.36895983 -28.031616 78.435621
    Unten rechts KachelX + 1 27666 KachelY + 1 8882 -0.48914812 1.36895983 -28.026123 78.435621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36897904-1.36895983) × R
    1.92099999998252e-05 × 6371000     		dl = 122.386909998886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36897904-1.36895983) × R
    1.92099999998252e-05 × 6371000     		dr = 122.386909998886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48924400--0.48914812) × cos(1.36897904) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.200450063809005 × 6371000     		do = 122.445218143816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48924400--0.48914812) × cos(1.36895983) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.200468883884332 × 6371000     		du = 122.456714414683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36897904)-sin(1.36895983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200450063809005-0.200468883884332)×R²
    abs(-0.48914812--0.48924400)×1.88200753267476e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.88200753267476e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.88200753267476e-05×40589641000000     		ar = 14986.3953897625m²