Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27663 / 9072
↖ ↑ ↗
← N 78.224513°
W 28.042603°		 ← 124.66 m → N 78.224513°
W 28.037109°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
N 78.223392°
W 28.042603°		 ← 124.67 m →
15 544 m²		 N 78.223392°
W 28.037109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422111511230469 y=0.138435363769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422111511230469 × 216)
    floor (0.422111511230469 × 65536)
    floor (27663.5)     		tx = 27663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138435363769531 × 216)
    floor (0.138435363769531 × 65536)
    floor (9072.5)     		ty = 9072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27663 / 9072 ti = "16/27663/9072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27663/9072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27663 ÷ 216
    27663 ÷ 65536     		x = 0.422103881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9072 ÷ 216
    9072 ÷ 65536     		y = 0.138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422103881835938 × 2 - 1) × π
    -0.155792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48943575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138427734375 × 2 - 1) × π
    0.72314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2718255467937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48943575} λ = -0.48943575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2718255467937))-π/2
    2×atan(9.69708715190075)-π/2
    2×1.46803581773287-π/2
    2.93607163546575-1.57079632675     		φ = 1.36527531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48943575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.042603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36527531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.224513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27663 KachelY 9072 -0.48943575 1.36527531 -28.042603 78.224513
    Oben rechts KachelX + 1 27664 KachelY 9072 -0.48933987 1.36527531 -28.037109 78.224513
    Unten links KachelX 27663 KachelY + 1 9073 -0.48943575 1.36525574 -28.042603 78.223392
    Unten rechts KachelX + 1 27664 KachelY + 1 9073 -0.48933987 1.36525574 -28.037109 78.223392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36527531-1.36525574) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dl = 124.680469999094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36527531-1.36525574) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dr = 124.680469999094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48943575--0.48933987) × cos(1.36527531) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.204077239467845 × 6371000     		do = 124.660883763238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48943575--0.48933987) × cos(1.36525574) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.204096397573999 × 6371000     		du = 124.672586520736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36527531)-sin(1.36525574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204077239467845-0.204096397573999)×R²
    abs(-0.48933987--0.48943575)×1.91581061543544e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.91581061543544e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.91581061543544e-05×40589641000000     		ar = 15543.5071310335m²