Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27662 / 9071
↖ ↑ ↗
← N 78.225634°
W 28.048096°		 ← 124.64 m → N 78.225634°
W 28.042603°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
N 78.224513°
W 28.048096°		 ← 124.65 m →
15 532 m²		 N 78.224513°
W 28.042603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422096252441406 y=0.138420104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422096252441406 × 216)
    floor (0.422096252441406 × 65536)
    floor (27662.5)     		tx = 27662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138420104980469 × 216)
    floor (0.138420104980469 × 65536)
    floor (9071.5)     		ty = 9071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27662 / 9071 ti = "16/27662/9071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27662/9071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27662 ÷ 216
    27662 ÷ 65536     		x = 0.422088623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9071 ÷ 216
    9071 ÷ 65536     		y = 0.138412475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422088623046875 × 2 - 1) × π
    -0.15582275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48953162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138412475585938 × 2 - 1) × π
    0.723175048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27192142059294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48953162} λ = -0.48953162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27192142059294))-π/2
    2×atan(9.69801689305577)-π/2
    2×1.468045600104-π/2
    2.93609120020801-1.57079632675     		φ = 1.36529487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48953162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.048096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36529487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.225634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27662 KachelY 9071 -0.48953162 1.36529487 -28.048096 78.225634
    Oben rechts KachelX + 1 27663 KachelY 9071 -0.48943575 1.36529487 -28.042603 78.225634
    Unten links KachelX 27662 KachelY + 1 9072 -0.48953162 1.36527531 -28.048096 78.224513
    Unten rechts KachelX + 1 27663 KachelY + 1 9072 -0.48943575 1.36527531 -28.042603 78.224513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36529487-1.36527531) × R
    1.95600000001406e-05 × 6371000     		dl = 124.616760000896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36529487-1.36527531) × R
    1.95600000001406e-05 × 6371000     		dr = 124.616760000896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48953162--0.48943575) × cos(1.36529487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204058091073119 × 6371000     		do = 124.636186397005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48953162--0.48943575) × cos(1.36527531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204077239467845 × 6371000     		du = 124.647882002318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36529487)-sin(1.36527531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204058091073119-0.204077239467845)×R²
    abs(-0.48943575--0.48953162)×1.91483947253324e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91483947253324e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91483947253324e-05×40589641000000     		ar = 15532.4864622452m²