Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 27659 / 9230
↖ ↑ ↗
← N 82.303745°
W104.032288°		 ← 40.90 m → N 82.303745°
W104.029541°		 →
↑
40.90 m
↓
↑
40.90 m
↓
N 82.303377°
W104.032288°		 ← 40.90 m →
1 673 m²		 N 82.303377°
W104.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211025238037109 y=0.0704231262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211025238037109 × 217)
    floor (0.211025238037109 × 131072)
    floor (27659.5)     		tx = 27659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0704231262207031 × 217)
    floor (0.0704231262207031 × 131072)
    floor (9230.5)     		ty = 9230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27659 / 9230 ti = "17/27659/9230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27659/9230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27659 ÷ 217
    27659 ÷ 131072     		x = 0.211021423339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9230 ÷ 217
    9230 ÷ 131072     		y = 0.0704193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211021423339844 × 2 - 1) × π
    -0.577957153320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.81570595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0704193115234375 × 2 - 1) × π
    0.859161376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.69913507000688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81570595} λ = -1.81570595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69913507000688))-π/2
    2×atan(14.8668673628027)-π/2
    2×1.50363382894625-π/2
    3.00726765789249-1.57079632675     		φ = 1.43647133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81570595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.032288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43647133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.303745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27659 KachelY 9230 -1.81570595 1.43647133 -104.032288 82.303745
    Oben rechts KachelX + 1 27660 KachelY 9230 -1.81565801 1.43647133 -104.029541 82.303745
    Unten links KachelX 27659 KachelY + 1 9231 -1.81570595 1.43646491 -104.032288 82.303377
    Unten rechts KachelX + 1 27660 KachelY + 1 9231 -1.81565801 1.43646491 -104.029541 82.303377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43647133-1.43646491) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dl = 40.9018200003981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43647133-1.43646491) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dr = 40.9018200003981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81570595--1.81565801) × cos(1.43647133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133921418821991 × 6371000     		do = 40.9030484455297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81570595--1.81565801) × cos(1.43646491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133927780987578 × 6371000     		du = 40.9049916146621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43647133)-sin(1.43646491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133921418821991-0.133927780987578)×R²
    abs(-1.81565801--1.81570595)×6.36216558705383e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.36216558705383e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.36216558705383e-06×40589641000000     		ar = 1673.0488646697m²