Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27658 / 9382
↖ ↑ ↗
← N 77.871891°
W 28.070068°		 ← 128.33 m → N 77.871891°
W 28.064575°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
N 77.870737°
W 28.070068°		 ← 128.34 m →
16 466 m²		 N 77.870737°
W 28.064575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422035217285156 y=0.143165588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422035217285156 × 216)
    floor (0.422035217285156 × 65536)
    floor (27658.5)     		tx = 27658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143165588378906 × 216)
    floor (0.143165588378906 × 65536)
    floor (9382.5)     		ty = 9382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27658 / 9382 ti = "16/27658/9382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27658/9382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27658 ÷ 216
    27658 ÷ 65536     		x = 0.422027587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9382 ÷ 216
    9382 ÷ 65536     		y = 0.143157958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422027587890625 × 2 - 1) × π
    -0.15594482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48991511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143157958984375 × 2 - 1) × π
    0.71368408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24210466902927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48991511} λ = -0.48991511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24210466902927))-π/2
    2×atan(9.41312195998744)-π/2
    2×1.46495861016839-π/2
    2.92991722033677-1.57079632675     		φ = 1.35912089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48991511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.070068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35912089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.871891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27658 KachelY 9382 -0.48991511 1.35912089 -28.070068 77.871891
    Oben rechts KachelX + 1 27659 KachelY 9382 -0.48981924 1.35912089 -28.064575 77.871891
    Unten links KachelX 27658 KachelY + 1 9383 -0.48991511 1.35910075 -28.070068 77.870737
    Unten rechts KachelX + 1 27659 KachelY + 1 9383 -0.48981924 1.35910075 -28.064575 77.870737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35912089-1.35910075) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35912089-1.35910075) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48991511--0.48981924) × cos(1.35912089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210098235477925 × 6371000     		do = 128.325432728494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48991511--0.48981924) × cos(1.35910075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210117925916169 × 6371000     		du = 128.337459407359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35912089)-sin(1.35910075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210098235477925-0.210117925916169)×R²
    abs(-0.48981924--0.48991511)×1.96904382437912e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96904382437912e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96904382437912e-05×40589641000000     		ar = 16466.4568083734m²