Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27655 / 9400
↖ ↑ ↗
← N 77.851100°
W 28.086548°		 ← 128.56 m → N 77.851100°
W 28.081055°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
N 77.849944°
W 28.086548°		 ← 128.57 m →
16 529 m²		 N 77.849944°
W 28.081055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421989440917969 y=0.143440246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421989440917969 × 216)
    floor (0.421989440917969 × 65536)
    floor (27655.5)     		tx = 27655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143440246582031 × 216)
    floor (0.143440246582031 × 65536)
    floor (9400.5)     		ty = 9400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27655 / 9400 ti = "16/27655/9400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27655/9400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27655 ÷ 216
    27655 ÷ 65536     		x = 0.421981811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9400 ÷ 216
    9400 ÷ 65536     		y = 0.1434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421981811523438 × 2 - 1) × π
    -0.156036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49020274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1434326171875 × 2 - 1) × π
    0.713134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24037894064294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49020274} λ = -0.49020274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24037894064294))-π/2
    2×atan(9.39689147694788)-π/2
    2×1.46477717091083-π/2
    2.92955434182166-1.57079632675     		φ = 1.35875802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49020274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.086548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35875802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.851100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27655 KachelY 9400 -0.49020274 1.35875802 -28.086548 77.851100
    Oben rechts KachelX + 1 27656 KachelY 9400 -0.49010686 1.35875802 -28.081055 77.851100
    Unten links KachelX 27655 KachelY + 1 9401 -0.49020274 1.35873784 -28.086548 77.849944
    Unten rechts KachelX + 1 27656 KachelY + 1 9401 -0.49010686 1.35873784 -28.081055 77.849944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35875802-1.35873784) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dl = 128.566779999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35875802-1.35873784) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dr = 128.566779999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49020274--0.49010686) × cos(1.35875802) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.210452992481326 × 6371000     		do = 128.555521927711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49020274--0.49010686) × cos(1.35873784) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21047272048675 × 6371000     		du = 128.567572809022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35875802)-sin(1.35873784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210452992481326-0.21047272048675)×R²
    abs(-0.49010686--0.49020274)×1.97280054245741e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.97280054245741e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.97280054245741e-05×40589641000000     		ar = 16528.7441775703m²