Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27655 / 9398
↖ ↑ ↗
← N 77.853412°
W 28.086548°		 ← 128.53 m → N 77.853412°
W 28.081055°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
N 77.852256°
W 28.086548°		 ← 128.54 m →
16 526 m²		 N 77.852256°
W 28.081055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421989440917969 y=0.143409729003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421989440917969 × 216)
    floor (0.421989440917969 × 65536)
    floor (27655.5)     		tx = 27655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143409729003906 × 216)
    floor (0.143409729003906 × 65536)
    floor (9398.5)     		ty = 9398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27655 / 9398 ti = "16/27655/9398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27655/9398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27655 ÷ 216
    27655 ÷ 65536     		x = 0.421981811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9398 ÷ 216
    9398 ÷ 65536     		y = 0.143402099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421981811523438 × 2 - 1) × π
    -0.156036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49020274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143402099609375 × 2 - 1) × π
    0.71319580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24057068824142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49020274} λ = -0.49020274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24057068824142))-π/2
    2×atan(9.39869348108123)-π/2
    2×1.46479734594825-π/2
    2.92959469189649-1.57079632675     		φ = 1.35879837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49020274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.086548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35879837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.853412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27655 KachelY 9398 -0.49020274 1.35879837 -28.086548 77.853412
    Oben rechts KachelX + 1 27656 KachelY 9398 -0.49010686 1.35879837 -28.081055 77.853412
    Unten links KachelX 27655 KachelY + 1 9399 -0.49020274 1.35877819 -28.086548 77.852256
    Unten rechts KachelX + 1 27656 KachelY + 1 9399 -0.49010686 1.35877819 -28.081055 77.852256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35879837-1.35877819) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dl = 128.566779999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35879837-1.35877819) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dr = 128.566779999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49020274--0.49010686) × cos(1.35879837) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.2104135459895 × 6371000     		do = 128.531425979798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49020274--0.49010686) × cos(1.35877819) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21043327416628 × 6371000     		du = 128.543476965783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35879837)-sin(1.35877819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2104135459895-0.21043327416628)×R²
    abs(-0.49010686--0.49020274)×1.97281767806423e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.97281767806423e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.97281767806423e-05×40589641000000     		ar = 16525.6462459065m²