Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27654 / 9399
↖ ↑ ↗
← N 77.852256°
W 28.092041°		 ← 128.53 m → N 77.852256°
W 28.086548°		 →
↑
128.50 m
↓
↑
128.50 m
↓
N 77.851100°
W 28.092041°		 ← 128.54 m →
16 517 m²		 N 77.851100°
W 28.086548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421974182128906 y=0.143424987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421974182128906 × 216)
    floor (0.421974182128906 × 65536)
    floor (27654.5)     		tx = 27654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143424987792969 × 216)
    floor (0.143424987792969 × 65536)
    floor (9399.5)     		ty = 9399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27654 / 9399 ti = "16/27654/9399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27654/9399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27654 ÷ 216
    27654 ÷ 65536     		x = 0.421966552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9399 ÷ 216
    9399 ÷ 65536     		y = 0.143417358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421966552734375 × 2 - 1) × π
    -0.15606689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49029861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143417358398438 × 2 - 1) × π
    0.713165283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24047481444218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49029861} λ = -0.49029861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24047481444218))-π/2
    2×atan(9.39779243582331)-π/2
    2×1.46478725890228-π/2
    2.92957451780455-1.57079632675     		φ = 1.35877819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49029861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.092041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35877819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.852256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27654 KachelY 9399 -0.49029861 1.35877819 -28.092041 77.852256
    Oben rechts KachelX + 1 27655 KachelY 9399 -0.49020274 1.35877819 -28.086548 77.852256
    Unten links KachelX 27654 KachelY + 1 9400 -0.49029861 1.35875802 -28.092041 77.851100
    Unten rechts KachelX + 1 27655 KachelY + 1 9400 -0.49020274 1.35875802 -28.086548 77.851100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35877819-1.35875802) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dl = 128.503069999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35877819-1.35875802) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dr = 128.503069999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49029861--0.49020274) × cos(1.35877819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21043327416628 × 6371000     		do = 128.530070261818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49029861--0.49020274) × cos(1.35875802) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210452992481326 × 6371000     		du = 128.542113967493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35877819)-sin(1.35875802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21043327416628-0.210452992481326)×R²
    abs(-0.49020274--0.49029861)×1.97183150456859e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97183150456859e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97183150456859e-05×40589641000000     		ar = 16517.2824431801m²