Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2765 / 5946
↖ ↑ ↗
← S 62.794935°
W 58.491211°		 ← 2 233.99 m → S 62.794935°
W 58.447265°		 →
↑
2 233.23 m
↓
↑
2 233.23 m
↓
S 62.815019°
W 58.491211°		 ← 2 232.47 m →
4 987 305 m²		 S 62.815019°
W 58.447265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33758544921875 y=0.72589111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33758544921875 × 213)
    floor (0.33758544921875 × 8192)
    floor (2765.5)     		tx = 2765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72589111328125 × 213)
    floor (0.72589111328125 × 8192)
    floor (5946.5)     		ty = 5946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2765 / 5946 ti = "13/2765/5946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2765/5946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2765 ÷ 213
    2765 ÷ 8192     		x = 0.3375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5946 ÷ 213
    5946 ÷ 8192     		y = 0.725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.324951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.02086421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.45166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41893222875366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02086421} λ = -1.02086421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41893222875366))-π/2
    2×atan(0.241972250016531)-π/2
    2×0.237408979800864-π/2
    0.474817959601729-1.57079632675     		φ = -1.09597837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02086421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09597837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.794935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2765 KachelY 5946 -1.02086421 -1.09597837 -58.491211 -62.794935
    Oben rechts KachelX + 1 2766 KachelY 5946 -1.02009722 -1.09597837 -58.447265 -62.794935
    Unten links KachelX 2765 KachelY + 1 5947 -1.02086421 -1.09632890 -58.491211 -62.815019
    Unten rechts KachelX + 1 2766 KachelY + 1 5947 -1.02009722 -1.09632890 -58.447265 -62.815019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09597837--1.09632890) × R
    0.00035052999999996 × 6371000     		dl = 2233.22662999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09597837--1.09632890) × R
    0.00035052999999996 × 6371000     		dr = 2233.22662999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02086421--1.02009722) × cos(-1.09597837) × R
    0.000766990000000023 × 0.457176549904494 × 6371000     		do = 2233.99014345373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02086421--1.02009722) × cos(-1.09632890) × R
    0.000766990000000023 × 0.456864768867899 × 6371000     		du = 2232.46662751046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09597837)-sin(-1.09632890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457176549904494-0.456864768867899)×R²
    abs(-1.02009722--1.02086421)×0.00031178103659496×R²
    0.000766990000000023×0.00031178103659496×6371000²
    0.000766990000000023×0.00031178103659496×40589641000000     		ar = 4987305.1523971m²