Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2765 / 5941
↖ ↑ ↗
← S 62.694309°
W 58.491211°		 ← 2 241.62 m → S 62.694309°
W 58.447265°		 →
↑
2 240.87 m
↓
↑
2 240.87 m
↓
S 62.714462°
W 58.491211°		 ← 2 240.09 m →
5 021 470 m²		 S 62.714462°
W 58.447265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33758544921875 y=0.72528076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33758544921875 × 213)
    floor (0.33758544921875 × 8192)
    floor (2765.5)     		tx = 2765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72528076171875 × 213)
    floor (0.72528076171875 × 8192)
    floor (5941.5)     		ty = 5941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2765 / 5941 ti = "13/2765/5941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2765/5941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2765 ÷ 213
    2765 ÷ 8192     		x = 0.3375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5941 ÷ 213
    5941 ÷ 8192     		y = 0.7252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.324951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.02086421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41509727678406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02086421} λ = -1.02086421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41509727678406))-π/2
    2×atan(0.242901983575639)-π/2
    2×0.23828710106968-π/2
    0.47657420213936-1.57079632675     		φ = -1.09422212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02086421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09422212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.694309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2765 KachelY 5941 -1.02086421 -1.09422212 -58.491211 -62.694309
    Oben rechts KachelX + 1 2766 KachelY 5941 -1.02009722 -1.09422212 -58.447265 -62.694309
    Unten links KachelX 2765 KachelY + 1 5942 -1.02086421 -1.09457385 -58.491211 -62.714462
    Unten rechts KachelX + 1 2766 KachelY + 1 5942 -1.02009722 -1.09457385 -58.447265 -62.714462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09422212--1.09457385) × R
    0.000351729999999995 × 6371000     		dl = 2240.87182999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09422212--1.09457385) × R
    0.000351729999999995 × 6371000     		dr = 2240.87182999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02086421--1.02009722) × cos(-1.09422212) × R
    0.000766990000000023 × 0.458737810574518 × 6371000     		do = 2241.61923324174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02086421--1.02009722) × cos(-1.09457385) × R
    0.000766990000000023 × 0.458425244889664 × 6371000     		du = 2240.09188312001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09422212)-sin(-1.09457385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458737810574518-0.458425244889664)×R²
    abs(-1.02009722--1.02086421)×0.000312565684854715×R²
    0.000766990000000023×0.000312565684854715×6371000²
    0.000766990000000023×0.000312565684854715×40589641000000     		ar = 5021470.14719427m²