Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27649 / 29697
↖ ↑ ↗
← N 69.656132°
W104.059754°		 ← 106.18 m → N 69.656132°
W104.057007°		 →
↑
106.20 m
↓
↑
106.20 m
↓
N 69.655176°
W104.059754°		 ← 106.19 m →
11 277 m²		 N 69.655176°
W104.057007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210948944091797 y=0.226573944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210948944091797 × 217)
    floor (0.210948944091797 × 131072)
    floor (27649.5)     		tx = 27649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226573944091797 × 217)
    floor (0.226573944091797 × 131072)
    floor (29697.5)     		ty = 29697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27649 / 29697 ti = "17/27649/29697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27649/29697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27649 ÷ 217
    27649 ÷ 131072     		x = 0.210945129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29697 ÷ 217
    29697 ÷ 131072     		y = 0.226570129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.210945129394531 × 2 - 1) × π
    -0.578109741210938 × 3.1415926535     		Λ = -1.81618532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226570129394531 × 2 - 1) × π
    0.546859741210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.71801054548319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81618532} λ = -1.81618532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71801054548319))-π/2
    2×atan(5.57342934315767)-π/2
    2×1.39326258226213-π/2
    2.78652516452425-1.57079632675     		φ = 1.21572884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81618532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.059754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21572884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.656132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27649 KachelY 29697 -1.81618532 1.21572884 -104.059754 69.656132
    Oben rechts KachelX + 1 27650 KachelY 29697 -1.81613738 1.21572884 -104.057007 69.656132
    Unten links KachelX 27649 KachelY + 1 29698 -1.81618532 1.21571217 -104.059754 69.655176
    Unten rechts KachelX + 1 27650 KachelY + 1 29698 -1.81613738 1.21571217 -104.057007 69.655176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21572884-1.21571217) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dl = 106.204569999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21572884-1.21571217) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dr = 106.204569999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81618532--1.81613738) × cos(1.21572884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347653643200468 × 6371000     		do = 106.182371238129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81618532--1.81613738) × cos(1.21571217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347669273328055 × 6371000     		du = 106.187145081414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21572884)-sin(1.21571217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347653643200468-0.347669273328055)×R²
    abs(-1.81613738--1.81618532)×1.56301275868187e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56301275868187e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56301275868187e-05×40589641000000     		ar = 11277.3065811085m²