Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27646 / 21490
↖ ↑ ↗
← N 52.529590°
W 28.135986°		 ← 371.57 m → N 52.529590°
W 28.130493°		 →
↑
371.62 m
↓
↑
371.62 m
↓
N 52.526248°
W 28.135986°		 ← 371.60 m →
138 090 m²		 N 52.526248°
W 28.130493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421852111816406 y=0.327919006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421852111816406 × 216)
    floor (0.421852111816406 × 65536)
    floor (27646.5)     		tx = 27646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327919006347656 × 216)
    floor (0.327919006347656 × 65536)
    floor (21490.5)     		ty = 21490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27646 / 21490 ti = "16/27646/21490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27646/21490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27646 ÷ 216
    27646 ÷ 65536     		x = 0.421844482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21490 ÷ 216
    21490 ÷ 65536     		y = 0.327911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.15631103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49106560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327911376953125 × 2 - 1) × π
    0.34417724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08126470782999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49106560} λ = -0.49106560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08126470782999))-π/2
    2×atan(2.94840606633037)-π/2
    2×1.24380531349444-π/2
    2.48761062698889-1.57079632675     		φ = 0.91681430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49106560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.135986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91681430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.529590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27646 KachelY 21490 -0.49106560 0.91681430 -28.135986 52.529590
    Oben rechts KachelX + 1 27647 KachelY 21490 -0.49096973 0.91681430 -28.130493 52.529590
    Unten links KachelX 27646 KachelY + 1 21491 -0.49106560 0.91675597 -28.135986 52.526248
    Unten rechts KachelX + 1 27647 KachelY + 1 21491 -0.49096973 0.91675597 -28.130493 52.526248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91681430-0.91675597) × R
    5.83299999999953e-05 × 6371000     		dl = 371.62042999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91681430-0.91675597) × R
    5.83299999999953e-05 × 6371000     		dr = 371.62042999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49106560--0.49096973) × cos(0.91681430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.608351626301146 × 6371000     		do = 371.573733204342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49106560--0.49096973) × cos(0.91675597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.608397919898755 × 6371000     		du = 371.602008767591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91681430)-sin(0.91675597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608351626301146-0.608397919898755)×R²
    abs(-0.49096973--0.49106560)×4.62935976083267e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62935976083267e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62935976083267e-05×40589641000000     		ar = 138089.644437751m²