Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27645 / 21491
↖ ↑ ↗
← N 52.526248°
W 28.141479°		 ← 371.60 m → N 52.526248°
W 28.135986°		 →
↑
371.62 m
↓
↑
371.62 m
↓
N 52.522906°
W 28.141479°		 ← 371.63 m →
138 100 m²		 N 52.522906°
W 28.135986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421836853027344 y=0.327934265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421836853027344 × 216)
    floor (0.421836853027344 × 65536)
    floor (27645.5)     		tx = 27645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327934265136719 × 216)
    floor (0.327934265136719 × 65536)
    floor (21491.5)     		ty = 21491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27645 / 21491 ti = "16/27645/21491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27645/21491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27645 ÷ 216
    27645 ÷ 65536     		x = 0.421829223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21491 ÷ 216
    21491 ÷ 65536     		y = 0.327926635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421829223632812 × 2 - 1) × π
    -0.156341552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49116147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327926635742188 × 2 - 1) × π
    0.344146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08116883403075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49116147} λ = -0.49116147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08116883403075))-π/2
    2×atan(2.94812340498921)-π/2
    2×1.24377614989408-π/2
    2.48755229978816-1.57079632675     		φ = 0.91675597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49116147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.141479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91675597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.526248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27645 KachelY 21491 -0.49116147 0.91675597 -28.141479 52.526248
    Oben rechts KachelX + 1 27646 KachelY 21491 -0.49106560 0.91675597 -28.135986 52.526248
    Unten links KachelX 27645 KachelY + 1 21492 -0.49116147 0.91669764 -28.141479 52.522906
    Unten rechts KachelX + 1 27646 KachelY + 1 21492 -0.49106560 0.91669764 -28.135986 52.522906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91675597-0.91669764) × R
    5.83299999999953e-05 × 6371000     		dl = 371.62042999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91675597-0.91669764) × R
    5.83299999999953e-05 × 6371000     		dr = 371.62042999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49116147--0.49106560) × cos(0.91675597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.608397919898755 × 6371000     		do = 371.602008767591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49116147--0.49106560) × cos(0.91669764) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.608444211426357 × 6371000     		du = 371.630283066505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91675597)-sin(0.91669764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608397919898755-0.608444211426357)×R²
    abs(-0.49106560--0.49116147)×4.62915276020492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62915276020492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62915276020492e-05×40589641000000     		ar = 138100.151979649m²