Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27644 / 29699
↖ ↑ ↗
← N 69.654222°
W104.073486°		 ← 106.19 m → N 69.654222°
W104.070740°		 →
↑
106.20 m
↓
↑
106.20 m
↓
N 69.653267°
W104.073486°		 ← 106.20 m →
11 278 m²		 N 69.653267°
W104.070740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210910797119141 y=0.226589202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210910797119141 × 217)
    floor (0.210910797119141 × 131072)
    floor (27644.5)     		tx = 27644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226589202880859 × 217)
    floor (0.226589202880859 × 131072)
    floor (29699.5)     		ty = 29699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27644 / 29699 ti = "17/27644/29699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27644/29699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27644 ÷ 217
    27644 ÷ 131072     		x = 0.210906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29699 ÷ 217
    29699 ÷ 131072     		y = 0.226585388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.210906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.57818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.81642500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226585388183594 × 2 - 1) × π
    0.546829223632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.71791467168395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81642500} λ = -1.81642500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71791467168395))-π/2
    2×atan(5.57289502292581)-π/2
    2×1.39324591607515-π/2
    2.7864918321503-1.57079632675     		φ = 1.21569551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81642500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.073486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21569551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.654222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27644 KachelY 29699 -1.81642500 1.21569551 -104.073486 69.654222
    Oben rechts KachelX + 1 27645 KachelY 29699 -1.81637706 1.21569551 -104.070740 69.654222
    Unten links KachelX 27644 KachelY + 1 29700 -1.81642500 1.21567884 -104.073486 69.653267
    Unten rechts KachelX + 1 27645 KachelY + 1 29700 -1.81637706 1.21567884 -104.070740 69.653267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21569551-1.21567884) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dl = 106.204569999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21569551-1.21567884) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dr = 106.204569999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81642500--1.81637706) × cos(1.21569551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347684893982914 × 6371000     		do = 106.191916031484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81642500--1.81637706) × cos(1.21567884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347700523917328 × 6371000     		du = 106.196689815768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21569551)-sin(1.21567884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347684893982914-0.347700523917328)×R²
    abs(-1.81637706--1.81642500)×1.56299344135635e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56299344135635e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56299344135635e-05×40589641000000     		ar = 11278.3202786831m²