Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27640 / 21513
↖ ↑ ↗
← N 52.452662°
W 28.168945°		 ← 372.22 m → N 52.452662°
W 28.163452°		 →
↑
372.26 m
↓
↑
372.26 m
↓
N 52.449314°
W 28.168945°		 ← 372.25 m →
138 569 m²		 N 52.449314°
W 28.163452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421760559082031 y=0.328269958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421760559082031 × 216)
    floor (0.421760559082031 × 65536)
    floor (27640.5)     		tx = 27640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328269958496094 × 216)
    floor (0.328269958496094 × 65536)
    floor (21513.5)     		ty = 21513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27640 / 21513 ti = "16/27640/21513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27640/21513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27640 ÷ 216
    27640 ÷ 65536     		x = 0.4217529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21513 ÷ 216
    21513 ÷ 65536     		y = 0.328262329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4217529296875 × 2 - 1) × π
    -0.156494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49164084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328262329101562 × 2 - 1) × π
    0.343475341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07905961044746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49164084} λ = -0.49164084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07905961044746))-π/2
    2×atan(2.94191170681002)-π/2
    2×1.24313398913078-π/2
    2.48626797826155-1.57079632675     		φ = 0.91547165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49164084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.168945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91547165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.452662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27640 KachelY 21513 -0.49164084 0.91547165 -28.168945 52.452662
    Oben rechts KachelX + 1 27641 KachelY 21513 -0.49154497 0.91547165 -28.163452 52.452662
    Unten links KachelX 27640 KachelY + 1 21514 -0.49164084 0.91541322 -28.168945 52.449314
    Unten rechts KachelX + 1 27641 KachelY + 1 21514 -0.49154497 0.91541322 -28.163452 52.449314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91547165-0.91541322) × R
    5.84299999999427e-05 × 6371000     		dl = 372.257529999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91547165-0.91541322) × R
    5.84299999999427e-05 × 6371000     		dr = 372.257529999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49164084--0.49154497) × cos(0.91547165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60941669547712 × 6371000     		do = 372.224264431231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49164084--0.49154497) × cos(0.91541322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.609463020668518 × 6371000     		du = 372.25255929158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91547165)-sin(0.91541322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60941669547712-0.609463020668518)×R²
    abs(-0.49154497--0.49164084)×4.63251913984664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63251913984664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63251913984664e-05×40589641000000     		ar = 138568.551809993m²