Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27639 / 21511
↖ ↑ ↗
← N 52.459357°
W 28.174439°		 ← 372.21 m → N 52.459357°
W 28.168945°		 →
↑
372.19 m
↓
↑
372.19 m
↓
N 52.456010°
W 28.174439°		 ← 372.23 m →
138 538 m²		 N 52.456010°
W 28.168945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421745300292969 y=0.328239440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421745300292969 × 216)
    floor (0.421745300292969 × 65536)
    floor (27639.5)     		tx = 27639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328239440917969 × 216)
    floor (0.328239440917969 × 65536)
    floor (21511.5)     		ty = 21511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27639 / 21511 ti = "16/27639/21511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27639/21511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27639 ÷ 216
    27639 ÷ 65536     		x = 0.421737670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21511 ÷ 216
    21511 ÷ 65536     		y = 0.328231811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421737670898438 × 2 - 1) × π
    -0.156524658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49173672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328231811523438 × 2 - 1) × π
    0.343536376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07925135804594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49173672} λ = -0.49173672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07925135804594))-π/2
    2×atan(2.94247586540104)-π/2
    2×1.24319241178342-π/2
    2.48638482356684-1.57079632675     		φ = 0.91558850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49173672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.174439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91558850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.459357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27639 KachelY 21511 -0.49173672 0.91558850 -28.174439 52.459357
    Oben rechts KachelX + 1 27640 KachelY 21511 -0.49164084 0.91558850 -28.168945 52.459357
    Unten links KachelX 27639 KachelY + 1 21512 -0.49173672 0.91553008 -28.174439 52.456010
    Unten rechts KachelX + 1 27640 KachelY + 1 21512 -0.49164084 0.91553008 -28.168945 52.456010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91558850-0.91553008) × R
    5.84200000000035e-05 × 6371000     		dl = 372.193820000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91558850-0.91553008) × R
    5.84200000000035e-05 × 6371000     		dr = 372.193820000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49173672--0.49164084) × cos(0.91558850) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.609324046781929 × 6371000     		do = 372.206495776302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49173672--0.49164084) × cos(0.91553008) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.609370368205133 × 6371000     		du = 372.234791286222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91558850)-sin(0.91553008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609324046781929-0.609370368205133)×R²
    abs(-0.49164084--0.49173672)×4.63214232035991e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.63214232035991e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.63214232035991e-05×40589641000000     		ar = 138538.22323852m²