Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27638 / 8365
↖ ↑ ↗
← N 78.991334°
W 28.179932°		 ← 116.63 m → N 78.991334°
W 28.174439°		 →
↑
116.65 m
↓
↑
116.65 m
↓
N 78.990285°
W 28.179932°		 ← 116.65 m →
13 606 m²		 N 78.990285°
W 28.174439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421730041503906 y=0.127647399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421730041503906 × 216)
    floor (0.421730041503906 × 65536)
    floor (27638.5)     		tx = 27638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127647399902344 × 216)
    floor (0.127647399902344 × 65536)
    floor (8365.5)     		ty = 8365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27638 / 8365 ti = "16/27638/8365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27638/8365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27638 ÷ 216
    27638 ÷ 65536     		x = 0.421722412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8365 ÷ 216
    8365 ÷ 65536     		y = 0.127639770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.15655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49183259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127639770507812 × 2 - 1) × π
    0.744720458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33960832285646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49183259} λ = -0.49183259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33960832285646))-π/2
    2×atan(10.3771712658425)-π/2
    2×1.47472759289784-π/2
    2.94945518579567-1.57079632675     		φ = 1.37865886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49183259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.179932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37865886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.991334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27638 KachelY 8365 -0.49183259 1.37865886 -28.179932 78.991334
    Oben rechts KachelX + 1 27639 KachelY 8365 -0.49173672 1.37865886 -28.174439 78.991334
    Unten links KachelX 27638 KachelY + 1 8366 -0.49183259 1.37864055 -28.179932 78.990285
    Unten rechts KachelX + 1 27639 KachelY + 1 8366 -0.49173672 1.37864055 -28.174439 78.990285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37865886-1.37864055) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dl = 116.653009999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37865886-1.37864055) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dr = 116.653009999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49183259--0.49173672) × cos(1.37865886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190957463397481 × 6371000     		do = 116.634483233401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49183259--0.49173672) × cos(1.37864055) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190975436430572 × 6371000     		du = 116.645460942203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37865886)-sin(1.37864055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190957463397481-0.190975436430572)×R²
    abs(-0.49173672--0.49183259)×1.79730330916728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79730330916728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79730330916728e-05×40589641000000     		ar = 13606.4038305793m²