Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27636 / 8389
↖ ↑ ↗
← N 78.966130°
W 28.190918°		 ← 116.91 m → N 78.966130°
W 28.185425°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
N 78.965079°
W 28.190918°		 ← 116.92 m →
13 668 m²		 N 78.965079°
W 28.185425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421699523925781 y=0.128013610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421699523925781 × 216)
    floor (0.421699523925781 × 65536)
    floor (27636.5)     		tx = 27636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128013610839844 × 216)
    floor (0.128013610839844 × 65536)
    floor (8389.5)     		ty = 8389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27636 / 8389 ti = "16/27636/8389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27636/8389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27636 ÷ 216
    27636 ÷ 65536     		x = 0.42169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8389 ÷ 216
    8389 ÷ 65536     		y = 0.128005981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42169189453125 × 2 - 1) × π
    -0.1566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49202434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128005981445312 × 2 - 1) × π
    0.743988037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3373073516747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49202434} λ = -0.49202434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3373073516747))-π/2
    2×atan(10.3533211435564)-π/2
    2×1.47450765080334-π/2
    2.94901530160667-1.57079632675     		φ = 1.37821897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49202434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.190918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37821897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.966130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27636 KachelY 8389 -0.49202434 1.37821897 -28.190918 78.966130
    Oben rechts KachelX + 1 27637 KachelY 8389 -0.49192846 1.37821897 -28.185425 78.966130
    Unten links KachelX 27636 KachelY + 1 8390 -0.49202434 1.37820062 -28.190918 78.965079
    Unten rechts KachelX + 1 27637 KachelY + 1 8390 -0.49192846 1.37820062 -28.185425 78.965079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37821897-1.37820062) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dl = 116.907849999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37821897-1.37820062) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dr = 116.907849999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49202434--0.49192846) × cos(1.37821897) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.191389240189815 × 6371000     		do = 116.910400626015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49202434--0.49192846) × cos(1.37820062) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.191407250943479 × 6371000     		du = 116.921402521546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37821897)-sin(1.37820062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191389240189815-0.191407250943479)×R²
    abs(-0.49192846--0.49202434)×1.80107536636442e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.80107536636442e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.80107536636442e-05×40589641000000     		ar = 13668.3866842047m²