Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27635 / 8391
↖ ↑ ↗
← N 78.964027°
W 28.196411°		 ← 116.92 m → N 78.964027°
W 28.190918°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
N 78.962976°
W 28.196411°		 ← 116.93 m →
13 670 m²		 N 78.962976°
W 28.190918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421684265136719 y=0.128044128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421684265136719 × 216)
    floor (0.421684265136719 × 65536)
    floor (27635.5)     		tx = 27635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128044128417969 × 216)
    floor (0.128044128417969 × 65536)
    floor (8391.5)     		ty = 8391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27635 / 8391 ti = "16/27635/8391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27635/8391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27635 ÷ 216
    27635 ÷ 65536     		x = 0.421676635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8391 ÷ 216
    8391 ÷ 65536     		y = 0.128036499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421676635742188 × 2 - 1) × π
    -0.156646728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49212021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128036499023438 × 2 - 1) × π
    0.743927001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33711560407622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49212021} λ = -0.49212021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33711560407622))-π/2
    2×atan(10.3513361094097)-π/2
    2×1.47448929986341-π/2
    2.94897859972681-1.57079632675     		φ = 1.37818227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49212021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.196411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37818227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.964027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27635 KachelY 8391 -0.49212021 1.37818227 -28.196411 78.964027
    Oben rechts KachelX + 1 27636 KachelY 8391 -0.49202434 1.37818227 -28.190918 78.964027
    Unten links KachelX 27635 KachelY + 1 8392 -0.49212021 1.37816392 -28.196411 78.962976
    Unten rechts KachelX + 1 27636 KachelY + 1 8392 -0.49202434 1.37816392 -28.190918 78.962976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37818227-1.37816392) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dl = 116.907849999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37818227-1.37816392) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dr = 116.907849999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49212021--0.49202434) × cos(1.37818227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191425261632692 × 6371000     		do = 116.920208674296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49212021--0.49202434) × cos(1.37816392) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191443272257447 × 6371000     		du = 116.931209343626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37818227)-sin(1.37816392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191425261632692-0.191443272257447)×R²
    abs(-0.49202434--0.49212021)×1.80106247553158e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80106247553158e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80106247553158e-05×40589641000000     		ar = 13669.5332502367m²