Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27630 / 9206
↖ ↑ ↗
← N 82.312568°
W104.111939°		 ← 40.86 m → N 82.312568°
W104.109192°		 →
↑
40.84 m
↓
↑
40.84 m
↓
N 82.312200°
W104.111939°		 ← 40.86 m →
1 669 m²		 N 82.312200°
W104.109192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210803985595703 y=0.0702400207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210803985595703 × 217)
    floor (0.210803985595703 × 131072)
    floor (27630.5)     		tx = 27630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0702400207519531 × 217)
    floor (0.0702400207519531 × 131072)
    floor (9206.5)     		ty = 9206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27630 / 9206 ti = "17/27630/9206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27630/9206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27630 ÷ 217
    27630 ÷ 131072     		x = 0.210800170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9206 ÷ 217
    9206 ÷ 131072     		y = 0.0702362060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.210800170898438 × 2 - 1) × π
    -0.578399658203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.81709612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0702362060546875 × 2 - 1) × π
    0.859527587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.70028555559776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81709612} λ = -1.81709612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70028555559776))-π/2
    2×atan(14.8839813222794)-π/2
    2×1.50371082237736-π/2
    3.00742164475471-1.57079632675     		φ = 1.43662532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81709612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.111939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43662532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.312568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27630 KachelY 9206 -1.81709612 1.43662532 -104.111939 82.312568
    Oben rechts KachelX + 1 27631 KachelY 9206 -1.81704818 1.43662532 -104.109192 82.312568
    Unten links KachelX 27630 KachelY + 1 9207 -1.81709612 1.43661891 -104.111939 82.312200
    Unten rechts KachelX + 1 27631 KachelY + 1 9207 -1.81704818 1.43661891 -104.109192 82.312200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43662532-1.43661891) × R
    6.41000000012326e-06 × 6371000     		dl = 40.8381100007853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43662532-1.43661891) × R
    6.41000000012326e-06 × 6371000     		dr = 40.8381100007853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81709612--1.81704818) × cos(1.43662532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.13376881438371 × 6371000     		do = 40.8564391220405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81709612--1.81704818) × cos(1.43661891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133775166771505 × 6371000     		du = 40.8583793047834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43662532)-sin(1.43661891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13376881438371-0.133775166771505)×R²
    abs(-1.81704818--1.81709612)×6.35238779458924e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.35238779458924e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.35238779458924e-06×40589641000000     		ar = 1668.53937171016m²