Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27625 / 8509
↖ ↑ ↗
← N 78.839256°
W 28.251343°		 ← 118.23 m → N 78.839256°
W 28.245850°		 →
↑
118.25 m
↓
↑
118.25 m
↓
N 78.838192°
W 28.251343°		 ← 118.24 m →
13 980 m²		 N 78.838192°
W 28.245850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421531677246094 y=0.129844665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421531677246094 × 216)
    floor (0.421531677246094 × 65536)
    floor (27625.5)     		tx = 27625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129844665527344 × 216)
    floor (0.129844665527344 × 65536)
    floor (8509.5)     		ty = 8509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27625 / 8509 ti = "16/27625/8509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27625/8509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27625 ÷ 216
    27625 ÷ 65536     		x = 0.421524047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8509 ÷ 216
    8509 ÷ 65536     		y = 0.129837036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421524047851562 × 2 - 1) × π
    -0.156951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49307895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129837036132812 × 2 - 1) × π
    0.740325927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32580249576588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49307895} λ = -0.49307895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32580249576588))-π/2
    2×atan(10.2348902471281)-π/2
    2×1.47340045937513-π/2
    2.94680091875026-1.57079632675     		φ = 1.37600459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49307895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.251343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37600459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.839256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27625 KachelY 8509 -0.49307895 1.37600459 -28.251343 78.839256
    Oben rechts KachelX + 1 27626 KachelY 8509 -0.49298308 1.37600459 -28.245850 78.839256
    Unten links KachelX 27625 KachelY + 1 8510 -0.49307895 1.37598603 -28.251343 78.838192
    Unten rechts KachelX + 1 27626 KachelY + 1 8510 -0.49298308 1.37598603 -28.245850 78.838192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37600459-1.37598603) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dl = 118.245760000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37600459-1.37598603) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dr = 118.245760000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49307895--0.49298308) × cos(1.37600459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193562214629707 × 6371000     		do = 118.225433429937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49307895--0.49298308) × cos(1.37598603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193580423589698 × 6371000     		du = 118.236555240004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37600459)-sin(1.37598603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193562214629707-0.193580423589698)×R²
    abs(-0.49298308--0.49307895)×1.82089599908009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82089599908009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82089599908009e-05×40589641000000     		ar = 13980.3137810745m²