Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27624 / 8808
↖ ↑ ↗
← N 78.516827°
W 28.256836°		 ← 121.60 m → N 78.516827°
W 28.251343°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
N 78.515734°
W 28.256836°		 ← 121.61 m →
14 782 m²		 N 78.515734°
W 28.251343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421516418457031 y=0.134407043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421516418457031 × 216)
    floor (0.421516418457031 × 65536)
    floor (27624.5)     		tx = 27624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134407043457031 × 216)
    floor (0.134407043457031 × 65536)
    floor (8808.5)     		ty = 8808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27624 / 8808 ti = "16/27624/8808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27624/8808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27624 ÷ 216
    27624 ÷ 65536     		x = 0.4215087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8808 ÷ 216
    8808 ÷ 65536     		y = 0.1343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4215087890625 × 2 - 1) × π
    -0.156982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49317482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1343994140625 × 2 - 1) × π
    0.731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29713622979309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49317482} λ = -0.49317482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29713622979309))-π/2
    2×atan(9.94565954927934)-π/2
    2×1.4705867397324-π/2
    2.9411734794648-1.57079632675     		φ = 1.37037715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49317482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.256836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37037715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.516827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27624 KachelY 8808 -0.49317482 1.37037715 -28.256836 78.516827
    Oben rechts KachelX + 1 27625 KachelY 8808 -0.49307895 1.37037715 -28.251343 78.516827
    Unten links KachelX 27624 KachelY + 1 8809 -0.49317482 1.37035807 -28.256836 78.515734
    Unten rechts KachelX + 1 27625 KachelY + 1 8809 -0.49307895 1.37035807 -28.251343 78.515734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37037715-1.37035807) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dl = 121.558679999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37037715-1.37035807) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dr = 121.558679999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49317482--0.49307895) × cos(1.37037715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199080134495902 × 6371000     		do = 121.59571140005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49317482--0.49307895) × cos(1.37035807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19909883253939 × 6371000     		du = 121.607131936335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37037715)-sin(1.37035807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199080134495902-0.19909883253939)×R²
    abs(-0.49307895--0.49317482)×1.86980434879191e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86980434879191e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86980434879191e-05×40589641000000     		ar = 14781.7083047238m²