Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27621 / 7365
↖ ↑ ↗
← N 79.992397°
W 28.273315°		 ← 106.14 m → N 79.992397°
W 28.267822°		 →
↑
106.20 m
↓
↑
106.20 m
↓
N 79.991442°
W 28.273315°		 ← 106.15 m →
11 273 m²		 N 79.991442°
W 28.267822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421470642089844 y=0.112388610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421470642089844 × 216)
    floor (0.421470642089844 × 65536)
    floor (27621.5)     		tx = 27621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112388610839844 × 216)
    floor (0.112388610839844 × 65536)
    floor (7365.5)     		ty = 7365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27621 / 7365 ti = "16/27621/7365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27621/7365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27621 ÷ 216
    27621 ÷ 65536     		x = 0.421463012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7365 ÷ 216
    7365 ÷ 65536     		y = 0.112380981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421463012695312 × 2 - 1) × π
    -0.157073974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49346244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112380981445312 × 2 - 1) × π
    0.775238037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43548212209657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49346244} λ = -0.49346244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43548212209657))-π/2
    2×atan(11.4213238587886)-π/2
    2×1.48346351157233-π/2
    2.96692702314467-1.57079632675     		φ = 1.39613070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49346244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.273315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39613070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.992397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27621 KachelY 7365 -0.49346244 1.39613070 -28.273315 79.992397
    Oben rechts KachelX + 1 27622 KachelY 7365 -0.49336657 1.39613070 -28.267822 79.992397
    Unten links KachelX 27621 KachelY + 1 7366 -0.49346244 1.39611403 -28.273315 79.991442
    Unten rechts KachelX + 1 27622 KachelY + 1 7366 -0.49336657 1.39611403 -28.267822 79.991442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39613070-1.39611403) × R
    1.66700000001629e-05 × 6371000     		dl = 106.204570001038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39613070-1.39611403) × R
    1.66700000001629e-05 × 6371000     		dr = 106.204570001038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49346244--0.49336657) × cos(1.39613070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173778861697649 × 6371000     		do = 106.142003409443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49346244--0.49336657) × cos(1.39611403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173795278034468 × 6371000     		du = 106.1520303072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39613070)-sin(1.39611403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173778861697649-0.173795278034468)×R²
    abs(-0.49336657--0.49346244)×1.64163368186476e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64163368186476e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64163368186476e-05×40589641000000     		ar = 11273.298282549m²