Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27620 / 21460
↖ ↑ ↗
← N 52.629729°
W 28.278809°		 ← 370.76 m → N 52.629729°
W 28.273315°		 →
↑
370.73 m
↓
↑
370.73 m
↓
N 52.626395°
W 28.278809°		 ← 370.79 m →
137 458 m²		 N 52.626395°
W 28.273315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421455383300781 y=0.327461242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421455383300781 × 216)
    floor (0.421455383300781 × 65536)
    floor (27620.5)     		tx = 27620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327461242675781 × 216)
    floor (0.327461242675781 × 65536)
    floor (21460.5)     		ty = 21460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27620 / 21460 ti = "16/27620/21460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27620/21460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27620 ÷ 216
    27620 ÷ 65536     		x = 0.42144775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21460 ÷ 216
    21460 ÷ 65536     		y = 0.32745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42144775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1571044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49355832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32745361328125 × 2 - 1) × π
    0.3450927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08414092180719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49355832} λ = -0.49355832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08414092180719))-π/2
    2×atan(2.95689852027162)-π/2
    2×1.24467918997017-π/2
    2.48935837994035-1.57079632675     		φ = 0.91856205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49355832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.278809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91856205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.629729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27620 KachelY 21460 -0.49355832 0.91856205 -28.278809 52.629729
    Oben rechts KachelX + 1 27621 KachelY 21460 -0.49346244 0.91856205 -28.273315 52.629729
    Unten links KachelX 27620 KachelY + 1 21461 -0.49355832 0.91850386 -28.278809 52.626395
    Unten rechts KachelX + 1 27621 KachelY + 1 21461 -0.49346244 0.91850386 -28.273315 52.626395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91856205-0.91850386) × R
    5.8190000000069e-05 × 6371000     		dl = 370.72849000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91856205-0.91850386) × R
    5.8190000000069e-05 × 6371000     		dr = 370.72849000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49355832--0.49346244) × cos(0.91856205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606963565271618 × 6371000     		do = 370.764592152216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49355832--0.49346244) × cos(0.91850386) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.60700980956282 × 6371000     		du = 370.792840545938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91856205)-sin(0.91850386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606963565271618-0.60700980956282)×R²
    abs(-0.49346244--0.49355832)×4.62442912019245e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.62442912019245e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.62442912019245e-05×40589641000000     		ar = 137458.23367522m²