Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27619 / 8371
↖ ↑ ↗
← N 78.985038°
W 28.284302°		 ← 116.70 m → N 78.985038°
W 28.278809°		 →
↑
116.72 m
↓
↑
116.72 m
↓
N 78.983989°
W 28.284302°		 ← 116.71 m →
13 622 m²		 N 78.983989°
W 28.278809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421440124511719 y=0.127738952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421440124511719 × 216)
    floor (0.421440124511719 × 65536)
    floor (27619.5)     		tx = 27619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127738952636719 × 216)
    floor (0.127738952636719 × 65536)
    floor (8371.5)     		ty = 8371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27619 / 8371 ti = "16/27619/8371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27619/8371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27619 ÷ 216
    27619 ÷ 65536     		x = 0.421432495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8371 ÷ 216
    8371 ÷ 65536     		y = 0.127731323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421432495117188 × 2 - 1) × π
    -0.157135009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49365419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127731323242188 × 2 - 1) × π
    0.744537353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33903308006102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49365419} λ = -0.49365419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33903308006102))-π/2
    2×atan(10.3712035894307)-π/2
    2×1.47467265393575-π/2
    2.9493453078715-1.57079632675     		φ = 1.37854898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49365419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.284302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37854898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.985038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27619 KachelY 8371 -0.49365419 1.37854898 -28.284302 78.985038
    Oben rechts KachelX + 1 27620 KachelY 8371 -0.49355832 1.37854898 -28.278809 78.985038
    Unten links KachelX 27619 KachelY + 1 8372 -0.49365419 1.37853066 -28.284302 78.983989
    Unten rechts KachelX + 1 27620 KachelY + 1 8372 -0.49355832 1.37853066 -28.278809 78.983989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37854898-1.37853066) × R
    1.83199999999051e-05 × 6371000     		dl = 116.716719999395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37854898-1.37853066) × R
    1.83199999999051e-05 × 6371000     		dr = 116.716719999395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49365419--0.49355832) × cos(1.37854898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191065320267072 × 6371000     		do = 116.700360890258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49365419--0.49355832) × cos(1.37853066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191083302731587 × 6371000     		du = 116.711344359658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37854898)-sin(1.37853066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191065320267072-0.191083302731587)×R²
    abs(-0.49355832--0.49365419)×1.79824645154258e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79824645154258e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79824645154258e-05×40589641000000     		ar = 13621.524323522m²