Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27618 / 8362
↖ ↑ ↗
← N 78.994480°
W 28.289795°		 ← 116.61 m → N 78.994480°
W 28.284302°		 →
↑
116.59 m
↓
↑
116.59 m
↓
N 78.993432°
W 28.289795°		 ← 116.62 m →
13 597 m²		 N 78.993432°
W 28.284302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421424865722656 y=0.127601623535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421424865722656 × 216)
    floor (0.421424865722656 × 65536)
    floor (27618.5)     		tx = 27618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127601623535156 × 216)
    floor (0.127601623535156 × 65536)
    floor (8362.5)     		ty = 8362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27618 / 8362 ti = "16/27618/8362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27618/8362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27618 ÷ 216
    27618 ÷ 65536     		x = 0.421417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8362 ÷ 216
    8362 ÷ 65536     		y = 0.127593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.15716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49375007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127593994140625 × 2 - 1) × π
    0.74481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33989594425418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49375007} λ = -0.49375007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33989594425418))-π/2
    2×atan(10.3801563916188)-π/2
    2×1.47475505074797-π/2
    2.94951010149595-1.57079632675     		φ = 1.37871377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49375007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.289795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37871377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.994480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27618 KachelY 8362 -0.49375007 1.37871377 -28.289795 78.994480
    Oben rechts KachelX + 1 27619 KachelY 8362 -0.49365419 1.37871377 -28.284302 78.994480
    Unten links KachelX 27618 KachelY + 1 8363 -0.49375007 1.37869547 -28.289795 78.993432
    Unten rechts KachelX + 1 27619 KachelY + 1 8363 -0.49365419 1.37869547 -28.284302 78.993432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37871377-1.37869547) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dl = 116.58930000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37871377-1.37869547) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dr = 116.58930000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49375007--0.49365419) × cos(1.37871377) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.190903563546288 × 6371000     		do = 116.613724329515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49375007--0.49365419) × cos(1.37869547) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.190921526955297 × 6371000     		du = 116.624697304494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37871377)-sin(1.37869547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190903563546288-0.190921526955297)×R²
    abs(-0.49365419--0.49375007)×1.79634090096692e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.79634090096692e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.79634090096692e-05×40589641000000     		ar = 13596.5521561146m²