Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27618 / 21470
↖ ↑ ↗
← N 52.596375°
W 28.289795°		 ← 371.05 m → N 52.596375°
W 28.284302°		 →
↑
371.05 m
↓
↑
371.05 m
↓
N 52.593038°
W 28.289795°		 ← 371.08 m →
137 681 m²		 N 52.593038°
W 28.284302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421424865722656 y=0.327613830566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421424865722656 × 216)
    floor (0.421424865722656 × 65536)
    floor (27618.5)     		tx = 27618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327613830566406 × 216)
    floor (0.327613830566406 × 65536)
    floor (21470.5)     		ty = 21470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27618 / 21470 ti = "16/27618/21470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27618/21470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27618 ÷ 216
    27618 ÷ 65536     		x = 0.421417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21470 ÷ 216
    21470 ÷ 65536     		y = 0.327606201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.15716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49375007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327606201171875 × 2 - 1) × π
    0.34478759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08318218381479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49375007} λ = -0.49375007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08318218381479))-π/2
    2×atan(2.9540649878452)-π/2
    2×1.24438811959815-π/2
    2.4887762391963-1.57079632675     		φ = 0.91797991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49375007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.289795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91797991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.596375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27618 KachelY 21470 -0.49375007 0.91797991 -28.289795 52.596375
    Oben rechts KachelX + 1 27619 KachelY 21470 -0.49365419 0.91797991 -28.284302 52.596375
    Unten links KachelX 27618 KachelY + 1 21471 -0.49375007 0.91792167 -28.289795 52.593038
    Unten rechts KachelX + 1 27619 KachelY + 1 21471 -0.49365419 0.91792167 -28.284302 52.593038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91797991-0.91792167) × R
    5.82399999999872e-05 × 6371000     		dl = 371.047039999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91797991-0.91792167) × R
    5.82399999999872e-05 × 6371000     		dr = 371.047039999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49375007--0.49365419) × cos(0.91797991) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.607426106322987 × 6371000     		do = 371.047136038005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49375007--0.49365419) × cos(0.91792167) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.607472369761887 × 6371000     		du = 371.075396128128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91797991)-sin(0.91792167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607426106322987-0.607472369761887)×R²
    abs(-0.49365419--0.49375007)×4.62634389002403e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.62634389002403e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.62634389002403e-05×40589641000000     		ar = 137681.184477765m²